〈時評〉碎形藝術與大自然、及碎形典故

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WIKI,CC BY-SA 3.0,作者Wolfgangbeyer

WIKI,CC BY-SA 3.0,作者Wolfgangbeyer

已經認識了黃金比例黃金螺線費氏數列,也知道彼此間有關係,而在上一篇也提到了碎形與費氏數列的關係,見圖1:從結構圖可知兔子的繁殖具有碎形幾何(Fractal)的自我相似性質。但什麼是碎形呢?

圖1:兔子的繁殖

註:線條代表親屬關係、羅馬數字代表月份,s:代表剛出生小兔子、m:代表正在長大中兔子、b:代表具生殖能力大兔子。

先認識碎形的歷史,再欣賞大自然中的碎形藝術,及作者收集到的碎形藝術圖片,最後再來認識碎形的應用。

【碎形的起源】

碎形的起源是因為Lewis Richardson想測量英國海岸線的長度,他發現地圖越精細就越長,甚至思考是否可視為無限長,見圖2,並看下述

1. 在海岸線找 8點,測量可得英國海岸線長1600公里。

2. 在海岸線找 19點,測量可得英國海岸線長1900公里。

3. 在海岸線找 58點,測量可得英國海岸線長2900公里。

4. 目前公布的英國海岸線為12,429公里。

圖2

可以發現找的點越多,其連線就越吻合英國海岸線,其周長就越接近真實海岸線的長度。

如果海岸線的地圖不斷放大,我們可以看到更多細節,也就是曲線會變得更加彎曲,見圖3,所以我們也就可以描更多點來測量距離,換言之英國海岸線地圖越精細,海岸線的總長就會越大。但要注意的事,它不會是無限長,因為國土面積的關係仍會有一個界限存在

圖3

或是可參考此連結,感受碎形雪花的邊緣也是不斷放大不斷精細的感覺。https://en.wikipedia.org/wiki/Scale_invariance#/media/File:Kochsim.gif

基於討論海岸線的契機,法裔美國學者本華·曼德博(Benoit Mandelbrot,1924-2010)研究不斷放大細部的理論,並於1967年提出了碎形(Fractal)的理論。

他認為碎形主要具有以下性質:

1. 具有精細結構。

2. 無論是整體或局部都與傳統歐式幾何的規則不同。

3. 具有自我相似。

由於是1967年才提出碎型理論,可以了解到碎型是一個年輕的數學概念,而碎形的數學理論直到目前都仍未完善。

【碎型藝術】

1. 黃金比例螺線

我們可從黃金比例的螺線中發現自我相似的情形,如果我們將螺線放大就可以看到自我相似的情形,見圖4。

圖4

2. 碎形樹

碎形作出來的樹,見圖5,可看到每一節都是一個大正方形與等腰直角三角形,再延伸兩個小正方形,之後不斷重複,就能夠成為一顆樹,經由角度的改變後,就會更貼近大自然。或參考影片連結:https://www.youtube.com/watch?v=Ma3Hh-KtoRE。

圖5:作者自製

3. 雪花

雪花的結構都是邊長三等份點位置再作一個三角形,也是碎形的結構,見圖6。也可參考影片連結觀察動態,https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal#/media/File:Koch_ Snowflake_Animated_Fractal.gif。

圖6:作者自製

4. H碎形的變化

H去做碎形結構,可以看到有很多H的形狀,隨著角度的變化,可以發現它能變成樹,又可以變成蒲公英,所以碎形的形狀是最能貼近大自然的規則,見圖7。也可參考影片連結:https://www.youtube.com/watch?v=bbafGCMvt6U。

圖7:作者自製

5. 氣管

人體中的氣管,是不是與H碎形的變形很像呢?見圖8,所以人體中也存在著許多的碎形。

圖8

6. 3D碎形

立體的三叉碎形,看起來就更真實了,更向大自然的形體,見圖9。

圖9

7. 蒲公英

蒲公英就是最真實的碎形結構,見圖10、11,所以我們真的可以說大自然是用碎形來設計。

圖10、11

8. 羅馬花椰菜

羅馬花椰菜整體與局部具有自我相似,也就是具有碎形的性質,見圖12。

圖12

9. 閃電

閃電會不斷的開叉,每個局部與整體相似,符合碎形的性質,見圖13、14。

圖13、14

補充說明:閃電總是都伴隨大雨及雷聲,但打雷還有另外兩種:旱雷、悶雷(啞雷)。旱雷是不下雨直接打雷,其原因是雨水在降落到地面時就已經蒸發,但雷在很高的天空產生時就直接打到地面,這種雷防不勝防,無法用下雨來警示自己。悶雷是有閃電卻無雷聲,可能有兩種原因:第一是距離太遠,第二是聲音往上折射。

10. 利希藤貝格圖Lichtenberg figures

1777年利希藤貝格(Lichtenberg)電擊透明玻璃,而玻璃在電擊後產生樹的紋路,感覺如同電在玻璃中流動的軌跡,見圖15、16。此圖被稱為利希騰貝格圖,並且此圖也是碎形。同時地面被雷打到出現紋路,見圖17,或是世界上有許多人被雷打到所留下的紋路,都是利希藤貝格圖。

圖15、16

圖17

11. 碎形拱門

碎形構成的藝術,不斷的圓弧構成一幅奇妙的拱門,見圖18。

圖18

12. 碎形與電腦做出逼真的場景

電腦特效公司(Terragen Planetside)專門以碎形技術來制作特效場景,甚至有碎形與電腦製圖的影片:

https://www.youtube.com/watch?v=eYlafu-Hico

https://www.youtube.com/watch?v=zMvJXwTxyVE、以及我們熟悉的電影開頭

http://planetside.co.uk/component/content/article/7-news/46-tg2-paramount

都是利用碎形製成擬真度很高的影片。其他影片可至http://planetside.co.uk/,所以如果要讓電腦製作的場景顯的自然又美觀的話,就必須利用碎形,最好還要利用到黃金比例的概念,見圖19。

圖19

13. 小海龜碎形

可以發現圖案不停放大不斷的出現自我相似的部分,見圖20。

圖20:作者利用XaoS,自行做出的圖。

圖21、22

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自然這一巨著是用數學符號寫成的。---伽利略

數學是創造性的藝術,因為數學家創造了美好的新概念;

數學是創造性的藝術,因為數學家的生活、言行如同藝術家一樣;

數學是創造性的藝術,因為數學家就是這樣認為的。---哈爾莫斯

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【碎形與維度】

我們都知道人類是活在三度空間中,而三度空間是什麼?我們都聽過點、線、面、空間,其實這就是幾度的概念,要注意這個度不是溫度,也不是角度,而是維度(Dimension)的度,在英文中是取其第一個字母作為縮寫。舉例:漫畫人物在平面上是二度空間也就是2D角色,而對於維度的概念可參考圖23,而我們不會對整數維度感到困惑。

圖23

而碎形有趣的地方是它的維度不一定是整數,甚至每一個碎形的維度都不相同。而非整數維度的概念是德國數學家豪斯多夫(Felix Hausdorff, 1846-1942)所提出。碎形維度有兩個重要概念,豪斯多夫測度(Hausdorff measure)和豪斯多夫維度(Hausdorff dimension)但前述二種概念都太抽象,故利用數學家史都華(Ian Stewart)的說明來幫助大家理解。

● 數學家史都華討論維度的方法

數學家史都華提出

a. 在1維度,繩子要變成2倍邊長,要取2條相等的繩子兩端對齊。

b. 在2維度,正方形要變成2倍邊長,要取4個相等的正方形。

c. 在3維度,正方體要變成2倍邊長,要取8個相等的正方體。

以上參考圖24。

圖24

所以對於邊長加倍,各維度有著以下內容及推論,見表1。

維度

1維

2維

3維

推論4維

推論k維

需要的同等物

2

4

8

16

視圖案而定

發現的指數關係

21

22

23

24

2k

表1

所以我們可以發現,在特別的k維度如果要邊長加倍,就是需要2k的同等物。而如果要討論碎型維度,就是令k不一定是整數。

同理邊長要變原本3倍,見表2。

維度

1維

2維

3維

推論4維

推論k維

需要的同等物

3

9

27

81

視圖案而定

發現的指數關係

31

32

33

34

3k

表2

所以我們可以發現,在特別的k度如果要變邊長3倍,就是需要3k的同等物,而如果要討論碎型維度,就是令k不一定是整數。

因此由表1、表2可知,討論維度的數學式就是:同等物的數量=放大倍數維度

但要如何得到一個不是整數的維度k。如果有一個物體,是用3個相等物抽象的拼在一起,邊長變2倍,則按照推導的數學式,得到3=2k,這個物體的維度經過計算(需要用到高中對數規則),log23= log22k=k,得到 k= 1.585…,就得到一個非整數的維度,以上是傑出數學家史都華在他的數學科普著作《數學的問題》(The Problems of Mathematics)中的說明。

● 數學家史賓斯基討論維度的方法

史都華的說明,或許不足以讓人明白碎形的維度如何是非整數,我們先認識波蘭數學家史賓斯基(Wacław Franciszek Sierpiński,1882-1969年)發現的「史賓斯基地毯的碎形,見圖25。

圖25:可以發現此方塊是以右圖結構來不斷相似。

再利用日本數學家小島寬「用小學數學看碎形」的說法改寫,史賓斯基地毯可以發現有8個相同圖型,組成3倍邊長的形狀,所以可以利用先前的算法,列出8=3k,得到k≒1.89,也就是史賓斯基地毯的維度不是2維度。同時我們要知道維度不是2,就意味與一般平面圖形的維度不同,也就代表著沒有面積,因此史賓斯基地毯沒有「面積」。

同理再看看另一個三角形的史賓斯基地毯,見圖26,可以發現有3個相同圖型,組成2倍邊長的形狀,所以可以利用先前的算法,列出3=2k,得到k≒1.585。也發現維度不是2,因此三角型的史賓斯基地毯也沒有「面積」。

圖26

我們可以看到兩個史賓斯基地毯的維度並不相同,正方形是約1.89維度,三角型約是1.585維度,而這代表什麼意義呢?我們可以發現平面碎形的結構不一定是面積的維度,卻會接近面積的維度(維度2)。另外,我們還可以發現平面上不同維度「覆蓋率有明顯的差別」,同理接近體積的維度(維度3),在立體中「覆蓋率也有明顯的差別」。所以我們也可以將非整數的維度視作為覆蓋率。也就是維度越大,撲滿下的整數維度空間就越快,如:圖26(維度1.585)比圖25(維度1.89)撲滿到平面(維度2)的速度就比較慢。見表3,可以對非整數的維度有更深的了解。

表3:各維度的圖型

參考下述連結有更多的碎形及其維度的描述:https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension

計算碎形的維度很複雜,不過我們可以用欣賞藝術的角度來觀賞他們,經由表3,我們還可以發現龍形碎形的維度剛好是黃金比例(1.618),看起來是與大自然有關的圖案。

【碎型的現況】

我們要先知道碎形是最年輕的數學,在1975年才被本華·曼德博創造出來,碎形的研究時間實在是太短,導致我們對它的認識與應用還太少,更無法有效應用在自然界中。同時碎形跟以往的數學差異太大,我們難以用以前的數學理論解決碎形問題。見以下原因:

1. 目前世界與科學有很大部分建構在微積分與歐氏幾何上面,而微積分處理的都是微小的直線,即便是曲線,也是當作是很多非常微小的直線來處理。但碎形是討論曲線的自我相似,微小部分仍然是曲線,因此微積分就無法處理碎形的問題。

2. 碎形類似『處處連續卻處處不可微的函數(魏爾斯特拉斯函數,見圖27)』大學研究的非線性內容的方法,本質上還是看作一段段的直線,所以無法處理碎形的問題。

3. 大自然是真正非線性的結構,也就是碎形,如果仍舊用接近線性的方法(微積分)去研究大自然,是難以取得成效。

圖27:魏爾斯特拉斯函數,可以看到有碎形結構,並且是一條連續的線,到處有轉角,所以處處不可「微分」。

【結論】

由本文可以知道大自然最常看到的現象,都藏有數學碎形的藝術在內。如:蕨類、樹、向日葵、雪花、宇宙、血管、神經...等,都是自我相似的圖案。而我們也應該要知道非碎形的幾何形狀都是人造的。

我們可以利用電腦來模擬與處理碎形的問題,及現在科技利用碎形的原理,可做出非常擬真的地形影片,如:魔戒,所以真的可以透過數學來描述這個真實世界。雖然知道碎型可以有效描述大自然,但現在並沒有完整的碎形理論、及有效的數學工具來處理碎形的問題,所以對於用數學描述自然界我們仍有一段路要走。

人類要用現有數學語言來詮釋大自然,是難以描述的,因為大自然充滿著碎形,而我們目前沒有太多有效的方法處理碎形。我們需要新的數學,才能更完美的描述大自然,也才能讓人類的科技繼續向前進。

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一個國家的科學水平,可以用消耗的數學來衡量——C.R.Rao拉奧,印度科學家

【圖片來源】

圖3:取自Google Map

圖4:WIKI,CC-BY-SA 3.0,作者Chris73

圖8:WIKI,公共領域

圖9:WIKI,CC BY-SA 4.0,作者Erikksen

圖10:WIKI ,CC BY-SA 3.0,作者:夢の散歩~commonswiki

圖11:WIKI ,CC BY-SA 4.0,作者 Archaeodontosaurus

圖12:WIKI,CC3.0,作者Quercusrobur

圖13:WIKI,CC BY-SA 3.0,作者Завантажив Maksim

圖14:WIKI,CC BY-SA 4.0,作者Griffinstorm

圖15:WIKI,作者Saperaud commonswiki

圖16:WIKI,作者 Tttrung

圖17:WIKI,CC BY-SA 2.5,作者Bert Hickman

圖19左:WIKI,CC BY-SA 3.0,作者 Fir0002,

圖19右:WIKI,CC2.5

圖21:WIKI,公共領域

圖22:WIKI,CC BY-SA 3.0,作者Wolfgangbeyer

圖27:WIKI,公共領域。