〈黃金比例5〉:費氏數列與黃金比例

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延續第一篇「<黃金比例 1>:你該穿多高的高跟鞋」、第二篇「<黃金比例 2>:除了黃金比例還有黃金比例螺線」、第三篇「<黃金比例3>:典故與實例」、

第四篇「<黃金比例4>:更多的特殊比例」、接著介紹費氏數列與黃金比例的關係。

我們在中學可能有接觸到一個特殊的數列是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、...,它的特質是前兩項相加等於第三項,而這被稱作「費氏數列」,但我們有可能不知道它的典故,以及它與黃金比例二者間的關係,接著就來介紹他們的由來。

【費氏數列的由來】

費波那契(Fibonacci,1170-1240)在某一次觀察兔子生長數量的情形時,發現兔子生長久了以後,每繁殖一次,新總數約為舊總數的1.6倍,於是他想知道裡面有什麼特殊的數學隱含在裡面,於是做了以下推測:

費波那契假設了下述事情

1. 第一個月有一對小兔子,一公一母

2. 第二個月長大變中兔子

3. 第三個月具有生殖能力的大兔子,往後每個月都會生出一對兔子。生出新的一對兔子,也是一公一母

4. 討論兔子數量變化時,假設永不死亡

利用上面內容可畫出下列的圖1,線條代表親屬關係、羅馬數字代表月份,s:剛出生的小兔子、m:成長的中兔子、b:具生殖能力的大兔子

圖1

將每一個月的兔子數量,以一對為單位,就可得到了1、1、2、3、5、8、13...、而這個數列可以發現前兩項相加總和等於第三項(的數列),也就是1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8,…,是遞迴式的形態,使得這個數列具有特殊性,故被定義為「費氏數列」。

而費波那契發現的新總數約為舊總數的1.6倍,就是在討論相鄰兩個數字相除,可發現越來越接近1.618,參考圖2:費氏數列相鄰兩項相除的情況。

圖2

由圖2發現相鄰兩項相除會接近1.618,而我們由前面的文章了解到黃金比例的數值是1.618,這樣是否意味者費氏數列與黃金比例有關,我們接著看他們之間的關係。

【費氏數列與黃金比例的關係】

由圖2可知費氏數列越後面的相鄰兩項相除會越接近1.618,也就是當n趨近無限大時,的比值會很接近,可設,並且已知。可得到下述推導

所以就可以發現費氏數列與黃金比例的相關性,而費氏數列又與自然界有關,所以黃金比例的確在大自然中是一個神奇的數字。

【植物與費氏數列】

觀察植物葉片數量,也是1、1、2、3、5、8、13、...的數量,來加以成長,猜測是養份問題,如同兔子繁殖的原理一樣,假設成長週期為一週,每週變化一次:1.第一週為新生小葉片、2.第二週為成長中的中葉片、3.第三週為提供養份的大葉片,最後也得到葉子數是費氏數列的情形。而花的花瓣數也符合費氏數列,觀察下列花的花瓣數。

1. 火鶴花一片花瓣

火鶴花是少見的一個花瓣的花,特別的是花瓣像愛心,見圖3、4。

圖3圖4

2. 百合花三片花瓣

百合花是輻射對稱的花,乍看之下有兩輪花瓣,見圖5,但第一輪才是三片花瓣,而第二輪三片是花萼,這六片統稱花被片。

圖5

3.梅花五片花瓣

梅花為五片花瓣的花,見圖6,其果實(梅子)常被用在各式各樣的食材上。

圖6

【費氏數列與黃金比例螺線】

如果將費氏數列的小方塊逆時針向外繞圈,其長方形長寬比會接近黃金比例,並且可以畫出黃金比例螺線,見圖8。已知黃金比例螺線是大自然的偏好曲線,又再一次驗證費氏數列是與黃金比例有相關性。

圖7

圖8

【巴斯卡三角型與費氏數列】

巴斯卡(Blaise Pascal,1623-1662)在討論多項式的內容時,發現展開兩項多項式(x+y)n,在n不同時,有著特別的規律,也就是冪次的係數關係,是相加可得下一行係數。見圖9。

圖9

如果將n=0也擺上去,可得到一個三角形,被稱為巴斯卡三角形,並且也可以發現巴斯卡三角形與費氏數列有關係,將巴斯卡三角形畫斜線就得到費氏數列,見圖10。真是令人驚奇,巴斯卡三角形與費氏數列也有關係。

圖10

【延伸討論:費氏數列與碎型也有關係】

再次觀察兔子繁殖圖,見圖11,從結構圖可知,可以發現圖案變化很規律,都是從s變m再變b,並且b下面會再連上一個s,根據這規律不斷重複,具有自我相似的性質,每一個區塊都會看到相似的地方,每一種的延伸變化,在右邊或下面延伸,都會再次出現,如同複製的感覺,這種性質就是碎形幾何的自我相似性質。

圖11

再觀察三角形利用碎型自我相似的規則,在三等份點的位置做出三角形,可以發現會變成雪花,而這也是碎型有趣的地方,它會與大自然有高度的相關性,而費氏數列源自大自然,又與另一個與大自然有關的數學(碎型)有關係,是不是很有趣呢,下一篇將會介紹碎型藝術與大自然的關係

圖12

【結論】

費氏數列在中學大多只學習到它是由前兩項總和為後一項的一個特殊數列,如果不把費氏數列的歷史、費氏數列與黃金比例的關係都講清楚,豈不是讓數學少了一次認識數學與大自然關係的機會!實為可惜。

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生態學本質上是一門數學-皮婁 (E. C. Pielou,1924生)加拿大生物學家

對外部世界進行研究的主要目的在於發現上帝賦予它的合理次序與和諧,而這些是上帝以數學語言透露給我們的。——克普勒(Johannes Kepler,1571-1630)

【圖片來源】

圖3:WIKI,CC 3.0,作者Michael Gäbler

圖4:WIKI,CC 3.0,作者Bot MultichillT

圖5:WIKI,CC 3.0,作者Maksim

圖6:WIKI,CC 3.0,作者Kakidai