〈黃金比例4〉:認識生活中更多的特殊比例

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照片來源:pixabay

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延續第一篇「<黃金比例1>:你該穿多高的高跟鞋」、第二篇「<黃金比例2>:大自然的黃金比例螺線」、第三篇「<黃金比例3>:典故與實例」、接著介紹更多事物的比例

【雞蛋中的黃金比例】

我們常吃的雞蛋也有黃金比例三角形的影子,只要利用黃金比例三角形(36、72、72度)的三頂點為焦點,各橢圓短軸都為此等腰三角形底的一半,所作的三橢圓聯集幾乎與雞蛋吻合,見圖1,順帶一提雞蛋的形狀被稱為卵圓形(Oval),而非橢圓形(Ellipse)。

 

圖1

補充說明:不是每種蛋都是卵圓形,見圖2。

圖2

  • 美國白宮會議廳(Oval office)

美國白宮會議廳被稱為Oval office,但Oval這個單字是卵圓型,而會議廳是橢圓形,見圖3,而實際上也是橢圓型,那為什麼叫卵圓形會議廳?可能是當時誤會形狀與名稱的對應,因為蛋形與橢圓形完全是不同的形狀。橢圓形廳的優點為何?美國總統在焦點上可清楚的聽到聲音。特別的是,白宮有相當多的橢圓形設計。橢圓形廳各長度為長軸10.9m,短軸8.8m。

圖3

【黃金比例外的其他特殊比例】

  • A4的比例由來

為什麼影印的紙張有那麼多的尺寸,A4、B3等等,其中的比例內容為何?

其比例的特殊之處就是對折後,新長方形跟原長方形,比例相同。A4:21×29.7,長比寬比例1.41,而A5:148×210,長比寬比例1.41,可以發現比例接近根號2。因為紙張設計的規則,就是不斷對折後,其構成長方形要比例相同,見圖4。

圖4

所以比例相等可列出,x:1=1:x/2,計算可得到x=根號2≒1.414,最後得到紙張比例訂為1.414:1。

  • A系列的紙

紙張的區分是以最大張情況為A0、依次對折為A1、A2、A3、…,見圖5。

A0紙張尺寸是最一開始的基準點,長寬雖然有一個比例,但是怎麼規範呢?在早期紙張的大小是沒有統一的,直到德國標準化學會在1922年規範A0的面積是1平方公尺,利用1.414 : 1的長方形比例的規則可做出A0為84.1× 118.9cm2,而對折後的A1、A2、A3、A4、A5…的尺寸,也就能依次算出來。這個A為開頭的紙張被稱為A系列的紙張。定義的紙張尺寸被規範在ISO 216國際標準中,被國際間所認可,ISO的意義是國際標準化組織。

圖5

  • B系列的紙張

B系列的紙張,則以100公分為寬是B0,並依1.414 : 1長方形比例,所以可得長是141.4公分,而對折後的B1、B2、B3、B4、B5…的尺寸,也就能依次算出來,B系列的紙張大多用在考卷上,如:B4,250×353 cm2的大小,介於A3與A4之間。

  • C系列的紙張

還有C系列紙張,長寬是AB系列相乘開根號而來,如C0的長寬,

長為

寬為,

而這C系列紙張用在哪裡呢?這特殊的紙張用在信封袋上,C系列與A系列相對應,如A4可裝到C4信封袋中。

  • 不同系列的規格表

A系列
(ISO 216)

 

B系列(ISO 216)

 

C系列(ISO 269)

 

A0

841×1189

B0

1000×1414

C0

917×1297

A1

594×841

B1

707×1000

C1

648×917

A2

420×594

B2

500×707

C2

458×648

A3

297×420

B3

353×500

C3

324×458

A4

210×297

B4

250×353

C4

229×324

A5

148×210

B5

176×250

C5

162×229

A6

105×148

B6

125×176

C6

114×162

A7

74×105

B7

88×125

C7

81×114

A8

52×74

B8

62×88

C8

57×81

A9

37×52

B9

44×62

C9

40×57

A10

26×37

B10

31×44

C10

28×40

 

表1:ABC系列紙張的規格,ISO 216紙張尺寸(單位:mm)

  • 聖經的比例

我們可以發現雙手似乎可以剛好放在A4紙上,若有出國也可以發現有些飯店房間都會擺放一本A5大小的聖經,而萬用手冊中被普遍使用的也是A5尺寸。作者認為聖經是早期印刷量最大的印刷品,所以一定會有一些人性化的設計,故將聖經打開的大小,設計與雙手差不多大,所以雙頁是A4,單頁是A5,而口袋書大小的聖經是A6的大小,所以說聖經的比例與A4的比例接近,是一種頗具匠心的設計。

  • 白銀長方形比例

我們常見的卡通之中,小叮噹、蠟筆小新、麵包超人、米老鼠、宮崎駿的龍貓、等等造型可愛討人喜歡的腳色,不約而同的頭跟身體差不多大,並且整體寬度與長度(身高)的比例似乎是一個特殊的比例,見圖6,更多的卡通角色的比例可參考此連結https://kknews.cc/zh-tw/finance/rr42eov.html。

圖6

作者認為這個特殊的比例可能是畫家發現比較受大多數小朋友喜歡,而這個比例是白銀比例中分割出來的白銀長方形比例,也就是A4的比例,見圖7。

圖7

  • 貴金屬比例

由圖6可以發現提到白銀比例,它與黃金比例都是貴金屬比例。

其意義內容是由黃金比例的計算式(x :1=1:x-1,x2-x-1=0)進行延伸討論,也就是討論x2-nx-1=0,當n在不同序號的變化,見下述:

1. n=1,計算式為x2-x-1=0,是黃金比例,其比例值為1.618

2. n=2,計算式為x2-2x-1=0,是白銀比例,其比例值為2.414

3. n=3,計算式為x2-3x-1=0,是青銅比例,其比例值為3.302

  • 生活上的白銀長方形比例應用

1. A4,長寬為29.7cm× 21 cm,比值為1.41428

2. 名片長寬為9cm× 5 cm,比值為1.4

3. iPad air長寬為24cm×16.95 cm,比值為1.415

【結論】

一般來說,目前常用的比例,或看起來舒服的比例,其實不限於黃金比例1.618或是白銀比例1.414,我們的課本是26×19cm其比例為1.368;聯絡簿或作業本是23×17其比例為1.353;照片的比例4×3其比例為1.333,所以其實我們生活中的使用比例範圍還蠻廣的,範圍在1.3到1.618都有。

更別提現在手機越做越大,iPhone 6是138.1×67.0其比例為2.061,所以其實我們在人類自己創造的比例,因喜好導致同一物體的差異比較大,但大自然中的世界比較偏好黃金比例。然而無論如何,每個比例都存在一個方便的或舒適的道理,這也印證了哥特佛萊德·威廉·萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-17160)說過的『存在即合理』。

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數學,如果正確地看,不但擁有真理,而且也具有至高的美。——C(Russell,1872-1970)

【圖片來源】

圖1:取自WIKI,CC BY-SA 2.5,作者Platonides

圖2:鵪鶉蛋,取自WIKI,CC BY-SA 3.0,Mariluna、

鴕鳥蛋,取自WIKI,CC BY-SA 3.0,Raul654、

鮭魚卵、鱘魚卵,取自WIKI,CC BY 2.0, Flickr upload bot 、

鱷魚蛋,取自WIKI,CC BY 2.0, FlickrLickr.

圖3:取自WIKI,公共領域

圖5:取自WIKI,CC BY-SA 3.0,作者Bromskloss

圖6:取自WIKI,可以合理使用(Fair use)