〈數學不好,不是你的錯7〉邏輯比你想像中的更重要 數學、邏輯與民主的關係 (上)

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台灣社會充滿邏輯錯誤的言論,如:從媒體、政論節目到網路文章,比比皆是。幾乎所有的討論或爭論,大多靠直覺或話術,缺乏客觀數據及事實的佐証,充斥不合邏輯的言論,所以最後淪為無意義的口水戰。

要讓社會進步,我們必須體認到實踐「演繹法與歸納法」的重要性,演繹法可以靠語言邏輯類的「若P則Q」來加以學習,以及利用數學來練習。尤其是在國際條約為了使語言邏輯錯誤降到最少,所以使用較嚴謹的拉丁文,因為拉丁文是最邏輯的語言。而歸納法的部份則要依靠大量的公開及客觀的資料,來讓大家相信歸納法是值得信賴的方法。所以兩者的側重的內容並不一樣。

作者認為邏輯是人類文明進展的重要推力,它不一定要包含在數學的框架之內。邏輯是較數學更重要的層級,只是邏輯概念用數學符號來學習比較快,所以大家都誤以為邏輯是數學的一部份。而現在學校的教法是用幾何證明來學習邏輯,但成效不大。因為大多數人都討厭數學,連帶地討厭邏輯推論,所以造成整個社會的邏輯如此混亂。

歐洲人早就了解當數學是培養理性、民主、藝術的基石,因為從古希臘時期,數學就是重要的七大學科之一,與天文、藝術歸為同一類。古希臘時期,柏拉圖就提出了「七藝」,也稱為「自由七藝」(Liberal arts)。到歐洲中世紀初期成為學校中的七門課程:1.文法(包括拉丁文和文學)、2.修辭(包括散文與詩的寫作,以及歷史)、3.邏輯(即形式邏輯)、4.算術、5.幾何(包括地理)、6.天文、7.音樂。

聖伊西多爾又將前三科定為初級學科,稱為「三藝」(Trivium),後四科定為高級學科,稱為「四術」(Quadrivium)。所以早在希臘時期七藝已經明確地指出邏輯算術幾何,是三門科目。邏輯應該從數學中獨立出去成為一門課程,而不是偷塞在數學之中含糊的帶過,但現在卻將幾何、算術、邏輯含混的放在同一科數學之中。

在當時因為統計的概念不夠完善,所以沒有提到統計,在先前作者認為統計也應該從數學中獨立出去,現在雖然在大學有將統計獨立出去,但是在高中時如同邏輯一般放在數學之中也一併被連帶討厭,進而學不好,作者在此也是認為統計應該獨立出去,所以顯而易見的我們的高中數學,可以切為好幾門課讓學生分門別類學習,才不至於被學生一起討厭數學,進而一起放棄學習邏輯、統計,所以作者強烈建議,邏輯與統計應該從數學獨立出去,各自成一門課。

【邏輯(理性基礎)的分類】

作者將邏輯分為下述情況、並介紹相關應用,見圖1。

圖1

【各種邏輯的概述】

我們可以把邏輯分成三大種類,語言邏輯、科學邏輯、演繹邏輯。而這三者差別在哪?

1. 語言邏輯 (非形式邏輯):

由語言與生活對話經驗來學習邏輯,但這跟語系有關,不同的語系有不一樣使用習慣,會造成不同的困擾。

語言邏輯常見的問題:

A 省略前提或一句多義的問題。

I. 牛排不好吃。不知道是「使用刀叉牛排不方便吃」、「還是說牛排不美味」。

II. 捐血車上的護士問捐血人問題,有沒有固定的性伴侶。捐血人回答沒有。這樣有問題了,是沒有固定性伴侶,還是沒有性伴侶。

III. 小明問小寶加油有沒有去固定的加油站。小寶回答:加油站每家都不會動,當然是固定的,哪有會移動的加油站。但小明要問的是固定去加中油、還是固定去加台塑,或是其他家。

B 因果問題的誤用,如:「蓋核能就有電,不蓋就沒電。」因為不蓋可能有電、也可能沒電。

C 省略受詞會錯意,如:甲對乙說:我覺得你胖,乙說:我不在乎。不知道是在乎自己胖卻不在乎甲的言論,還是不在乎自己胖。

由以上句子就知道中文語句常常有問題了,所以問話要問清楚,回話要完整。中文溝通的一些習慣,容易產生問題導致誤會與爭執。

2. 演繹邏輯 (形式邏輯、先驗):

演繹邏輯是因果關係,考慮前因後果,或說原因與結果,數學用語前提與結論。例如:(前提)動物會死,而人是動物,(結論)所以人會死。例如:(前提)在數學上定義大家都能接受的數學原理a(b+c)=ab+ac,利用此式堆疊組合出新的數學式(x+y)2=x2+2xy+y2,(結論)也都會是正確的。這種因果關係又稱為演繹論證,也就是大家所認識的若P則Q的數學邏輯。演繹邏輯可以判斷前提到結論,這個推論有沒有問題

演繹邏輯常見的錯誤

演繹邏輯如何判斷因果關係,邏輯是判斷推論正不正確,所以應該要有兩個句子,也就是需要兩個完整的敘述。

例題1:天氣好。這是一個敘述,但沒有前後文可判斷的此句的正確性。

例題2:下雨天,帶傘才不會淋濕。這是兩個敘述。有前後文可判斷的此句的正確性。

例題3:下雨了,所以2×2=4。有兩個句子可以判斷邏輯,但這兩句話沒有關聯性。

例題4:蓋核能就有電,不蓋就沒電。有兩個句子可以判斷邏輯。這兩句話的答案是不蓋就不一定沒電。

由例題4可看到第二句沒有邏輯性,這是將若p則q的事情,當作p=q,而這是典型的邏輯錯誤

3. 科學方法論    (科學邏輯、歸納邏輯、統計邏輯、後驗):

科學的發展,使用嘗試錯誤的方式發展,發現錯誤再修改,如一開始是四大元素:地水火風,之後變成如今的元素周期表。以及太陽繞地球到現在地球繞太陽。統計這一學科是歸納論證,不同於演繹論證,有可能會出現不同結果。例如:外星人降落到草原,發現馬都是條紋狀的,所以說這星球的馬全都是條紋狀的,這顯然有可能不對。所以數學上的邏輯是指演繹論證,故稱演繹邏輯。

統計的本質上是使用數學語言表達的科學,其本質是在討論歸納的結果,故算是科學邏輯,只有部份的內容是演繹邏輯,如:機率是用數學嚴謹的演繹邏輯。大致上而言統計是科學邏輯。

認識統計邏輯的常見錯誤

我們先看一個小故事,據說英國科學家弗蘭西斯,培根(Francis Bacon)講過一個故事:「約在1432年,一群有知識的貴族在爭論馬到底有多少根牙齒,這場爭論持續了13天,這些貴族們參考了許多書籍,仍爭論不修。到了第14天,一位年輕修士受不了這些長篇大論,就跑到院子將馬的嘴巴張開,計算牙齒的數目後回報貴族們。有趣的是:貴族們知道之後,竟然惱羞成怒,將年輕修士痛打一頓後再趕走。」

上述故事是一種荒謬無比的事情,明明可以直接得到答案,偏偏提出一堆理論來爭辯。作者將這樣的事情稱為定性定量的討論,意指浪費時間。內容是花太多時間討論該事情的性質,也就是花時間做主觀的認知判斷,然後不去確定真實情況的數據,也就是不做客觀的數據分析,此種討論也違反科學精神,因為不夠客觀,也不夠有效。同時作者又將其稱為馬牙齒的討論

● 演繹、歸納邏輯的不理解,導致數學學不好,認為數學抽象

先認識歸納邏輯,其意義是先歸納出一個模型但有修正會再行調整,如:四大元素論到現在的元素週期表,而後期再度驗證正確性的邏輯,又稱「後驗」。

而演繹邏輯可以從數學邏輯認識,基本上都是先確定是正確無誤的內容(如:公理、定義)再不斷堆疊組合,而先驗證正確性的邏輯,又稱「先驗」。

生活上的東西大多都是歸納而來的邏輯,再加以推導,即便是科學類的內容,也是歸納邏輯。但我們知道歸納的方式並沒有辦法100%保證正確無誤,而數學是演繹邏輯的結構,大部分內容環環相扣,所以數學用歸納的方法學習,較不容易被接受。抽象程度也越來越深。

數學的抽象性是源自演繹邏輯,我們很難由生活中習慣模式(歸納邏輯)來學習,必須要用完整的方式,才能讓學生理解,而最好的方式還要搭配「先學唱歌再看譜」。

對於不同內容的邏輯,作者有對其抽象程度的排序:「語言邏輯<科學(歸納邏輯)<宗教(神學)<哲學(形上學) <統計(歸納邏輯)<演繹邏輯<數學(演繹邏輯)。」可以發現排序情況大抵上是由「生活接觸內容(歸納)<玄學<數學類(演繹)」,也就是歸納邏輯到演繹邏輯的抽象程度是逐步的加強。

社會上必須要有一定的邏輯性才能有效運作,否則會出現太多修辭學的言論,以及各種不合理的事情在勞民傷財、浪費時間,以及各種騙財騙色的神棍。而我們語言邏輯可以用演繹邏輯的「若p則q」部份有效加強,所以有必要直接學習「若p則q」部份的邏輯。

【邏輯(理性基礎)的太差會造成什麼問題】

作者將邏輯錯誤分為下述情況,見圖2。

圖2

【小結】

本篇先暫時分享到這,更多的內容將在下一篇:〈數學不好,不是你的錯8〉邏輯比你想像中的更重要 數學、邏輯與民主的關係 (下)介紹。

同時想要了解更多邏輯的內容,可以參考作者所著的台灣人一定要懂的邏輯一書。

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 「只有邏輯可以打敗不邏輯的廢話」---波提思