〈黃金比例3〉:典故與實例

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艾菲爾鐵塔 (照片來源:pixabay)

艾菲爾鐵塔 (照片來源:pixabay)

延續第一篇「<黃金比例1>:你該穿多高的高跟鞋」、第二篇「<黃金比例2>:大自然的黃金比例螺線」,接著介紹黃金比例的典故與實例。

多年前,「黃金比例」一詞曾出現在買外帶飲料,這是業者為客人「特調」的最好喝的飲料,但其目的是為了不讓人調整飲料中的糖和冰的量。講到「黃金比例」這個完美比例又可在那裡出現呢?長桌、方桌、建築物等等物品,又或是烹任時使用的調味料比例等。

黃金比例是什麼?黃金比例就是大多數人會感覺順眼的比例,如長度比例、形狀中的長寬比例。怎樣是順眼的形狀?有著等邊構造的幾何形狀就是順眼的形狀,如:正方形、圓形、正三角形、正多邊形。值得一提的是蜂巢的正六邊形。

而長方形、平行四邊形、菱形等等,雖然這些形狀沒有固定形態,但總有順眼的比例。以長方型為例,如果長寬的比例不好,看起來也不會舒服,見圖1。可以發現太細長也不好看,一定是有一個好看的比例存在。而這比例就是黃金比例,大約是1.618:1、或1:0.618。按此種比例關係組成的任何事物都表現出其內部關係的和諧與均衡美。

圖1

【黃金比例的歷史】

● 希臘時代
1. 畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的圖案,現代數學家就推論那時候的人就已經在研究黃金比例的性質。
2. 古希臘數學家歐多克索斯(Eudoxus;公元前408年-前355年)研究並建立起比例理論。
3. 歐幾里得撰寫「幾何原本」時吸收了歐多克索斯的研究成果,進一步系統論述了黃金分割,成為最早的論著。

● 中世紀後
1. 義大利數學家盧卡·帕喬利(Luca Pacioli,1445–1517)稱它為神聖比例,並為此著書。
2. 德國天文學家約翰內斯·克卜勒(Johannes Kepler,1571-1630)稱神聖比例為黃金分割

● 近代
1. 19世紀「黃金分割」一詞才逐漸被引用,並在1875年出版的《大英百科全書》的第九版中,就曾出現在蘇利這一段話「『黃金分割』,故黃金比例又稱黃金分割,在視覺比例上具有所謂的優越性。」
2. 二十世紀時,美國數學家巴爾(Mark Barr)給它一個叫phi的名字:Φ。

黃金分割有許多有趣的性質,人類對它的實際應用也很廣泛,亦造就了它今天的名氣。至於為什麼稱為黃金比例,作者認為是因為大家喜歡「黃金」,所以在喜歡的「比例」上就冠上黃金的詞彙作為前綴。

【黃金比例的原理】

黃金比例又稱黃金分割比例,以黃金比例的長方形為例,見圖2,長方形性質是:長度切去長方形寬度,也就是切掉以長方形寬度的正方形後,見圖3,原來長方形比例=後來長方形比例,見圖4。這個特別長方型的比例就是黃金比例,而黃金比例用符號Φ來表示。

.黃金比例長方形

圖2

.切下正方形的長方型

圖3

.比例相同

圖4

而比例相等可設Φ:1=1: Φ-1,經計算後得到Φ2-Φ-1=0,利用國中一元二次方程式的計算,最後算出黃金比例是1.618...,也就是我們常聽到的數字,也就是此長方形長比寬=1.618:1=1:0.618。同時它可以無限的切割正方形,新長方形仍然會是保持相同的比例,也稱作自我相似,如果我們在每個正方形都畫上四分之一圓弧就會得到黃金比例螺線,見圖5。

圖5

● 黃金分割點

黃金比例也常用黃金分割點討論,意思是一條線中有一個位置做為分割點,看起來會最舒服的點,見圖6,其分割點使得全長:大邊=大邊:小邊,也就是Φ:1=1: Φ-1,進而算出黃金比例的數值1.618。

圖6

【黃金比例的事物】

1. 艾菲爾鐵塔(法:La Tour Eiffel)

法國世界著名建築的艾菲爾鐵塔,也稱巴黎鐵塔,總高312公尺,並分為三樓,分別在離地面57.6米、115.7米(黃金比例位置)和276.1米處,見圖7。而兩側弧線也是與黃金比例有關的對數曲線,見圖8。

圖7

圖8

2.     帕德嫩神殿(古希臘文:Παρθενών)

帕德嫩神殿是古希臘雅典娜女神的神廟,見圖9,興建於前5世紀的雅典衛城。該建築正面的長寬比例是黃金比例,恰恰說明了希臘時期的人在設計建築時,都會考量建築物的美觀來達到視覺的美感。

圖9

3. 小提琴

小提琴所彈奏出來的的聲音一直很悅耳,這也是製作者歷經不少世代的嘗試後才成功的製作出符合音樂家追求音樂之美的標準,見圖10,其中的原因除了外形即具美感外,其設計的高度也採用黃金比例,必然也是黃金比例的造型才能讓演奏者使用順手,並帶來美麗的聲音。

圖10

4.日本弓(和弓)

圖案說明:日本弓全長約221cm,日本弓的結構乍看上下不平衡,但若將將弓拉開後,就會發現弓臂的交界的握把處是根據黃金比例作為分割點,遠看就會看到美麗的兩個三角形,如圖11第三張;上面接近黃金比例三角形(72、72、36度)、下面是正三角形。

圖11

5.聯合國總部大樓

位於美國紐約市的聯合國總部大樓,是根據黃金比例去設計建造的大樓無論是從大樓的長或寬都是符合黃金比例,若在細看的話,建築外觀還有三組玻璃也是符合黃金比例,見圖12。

圖12

6.電視機

舊式的電視機皆是以4:3的比例設計,然而隨著的科技時代的發展,如今都是用16:9或16:10的比例來製造,見圖13,以接近黃金比例。因為人類的視野是接近黃金比例,當電視用接近黃金比例的比例製作,不僅讓視野較舒服、亦讓使用者可以融入劇情,而電影院的大螢幕尺寸也是同理。

圖13

7.胡夫金字塔

金字塔是地球最神秘建築物之一,不僅藏有許多的秘密,就連如何蓋成、怎麼蓋成的都是一個謎,然而他卻藏了許多數學密碼,而且都是符合黃金比例。經測量,胡夫金字塔的底面正方形的邊長約為230公尺,高度約為146.5公尺、斜面三角形經計算後,斜面上的高為186.4公尺,見圖14。

圖14

馬丁.葛登能(Martin Gardner)在《號稱科學的時尚熱及謬誤》(Fads and Fallacies in the Names of Science)寫到:「希羅多德(Herodotus, 485-425B.C.)發現金字塔(pyramid)在建造的時候,每一斜面的三角型面積等於某一個正方形的面積,而該正方形的邊長等於金字塔的高。參考圖15,也就是ab/2=h2

 

圖15

胡夫金字塔的數學密碼,如下所示:

1. 金字塔斜面三角形的面積= 高度的平方。

實際驗證,ab/2=230×186.4/2=21436≒146.412=h2,誤差0.12%。

2. 斜面三角形的高除以底邊長的一半接近黃金比例

實際驗證,b÷(a/2)=186.4÷(230/2)=1.620≒Φ,誤差0.17%。

3. 底面正方形的周長= 以高度為半徑的圓周長。

實際驗證,4a=2πh,920≒2×3.14×146.5=920.2,誤差0.02%。

4. 高度乘以每日秒數(86,400)= 地球南北極之間的距離。

實際驗證,146.5×86400=12657600m=12657.6km,而地球半徑約6,371km,所以南北極的距離12,714公里,誤差0.44%。

5. 高度乘以十億(1,000,000,000) = 地球至太陽的距離。

實際驗證,146.5×1010=1.465×1012m=1.465×109km=1.465億公里,地球至太陽的距離(約1.496億公里),誤差2.07%。

以上的這些關係式,除了一絲絲誤差,金字塔要設計出符合以上條件的感覺是非常困難的,所以說金字塔是相當神秘的建築。

【結論】

本文根據歷史上的典故討論何為黃金比例及其由來與運用,不知道這樣的說明是否讓大家耳目一新,也不再感到困惑,並了解為何有這麼多人這麼愛用「黃金比例」一詞。以往談到比例就會談到數學,但若我們用另一個角度談論他的話,是不是就顯的較有趣,亦比較生活化呢?讓遠離生活的數學內容,變成看的到、摸的到的數學

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上帝乃幾何學家----------柏拉圖

【圖片來源】

圖7:取自WIKI,CC BY-SA 3.0,作者 Paris16

圖8:取自WIKI,CC BY-SA 3.0,作者SElefant

圖9:取自WIKI,CC BY-SA 3.0,作者Slomox

圖11:取自WIKI,公共領域

圖12:取自WIKI,CC BY-SA 3.0,作者Empoor。

圖13:取自WIKI,公共領域。

圖14:取自WIKI,CC BY-SA 3.0,作者Berthold Werner。