〈數學不好 不是你的錯6〉:如何學習數學

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照片來源:pixabay

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延續第一篇「<數學不好,不是你的錯1>:是考試制度的錯&認識數學恐懼症&先學唱歌,再學看譜」、第二篇「<數學不好,不是你的錯2>:建議老師應該怎麼做」、第三篇「<數學不好,不是你的錯3>:建議課本應該怎麼改」、第四篇「<數學不好,不是你的錯4>:數學要如何先學唱歌再看譜」、第五篇「<數學不好 不是你的錯5>:建議家長與社會改變部分價值觀」。

我們知道考試制度會造成數學恐懼,見圖1,也已經知道那些面向會引起數學恐懼的成因,但大多數人除了數學恐懼的問題外,還對數學好的人有所好奇:「數學好的人到底是如何喜歡上數學?」,而我們除了「先學唱歌再看譜外」,還應該如何學習數學?

圖1

【大多數人對於數學好的人想知道的問題】

以下是由作者的經驗進行討論

1. 數學好的人是如何喜歡上數學? 

作者認為:大部分的學生是由考試分數獲得成就感、競爭的優越感、以及征服題目、了解數學原理的滿足感,逐漸的喜歡上數學。而以作者的經驗來說,作者並非直接喜歡上數學,而是透過一個橋梁,作者是因為研究物理時,應用到許多的數學原理,進而研究後,反而喜歡上數學。當然,也有少部分的人是因為喜歡分享知識,只不過透過的媒介是數學,進而不斷的教學相長,才喜歡上數學。

換言之這也是數學對於數學家有用的一種案例,同理當我們希望學生理解數學、或是了解數學很有用,不應該先強調數學有用,還有它可應用在萬物上,而是要反過來從學生喜歡、有興趣的事物上,替它找到與數學相關的內容,進而讓學生知道數學的用處。

2. 我們都應該喜歡數學嗎?

作者認為:這個可以從兩個角度來討論。

A不一定要喜歡。以目前教科書的數學內容僅僅太過狹隘,可以喜歡也可以不喜歡。因為是一種考試制度衍伸的科目,並沒有辦法讓大多數人發自內心的喜歡這個科目。

B你應該喜歡。數學在許多方面都相當重要,而如果要讓人喜歡數學,第一步就是要將邏輯、統計、數學切開,讓人了解到各自在社會上的功用,同時也要讓人知道數學相關的藝術面、人文歷史、邏輯民主等等,這些內容對每個人而言都是重要的基礎知識,也才是該喜歡的部分。

作者建議B方案。

3. 數學真的是一種天賦嗎?數學有可能勤能補拙嗎?

作者認為:數學的確是一種天賦,每個人有不一樣的天賦,有的人擅長體育,有的人擅長音樂,所以人各有所長。而勤能補拙的確可以緩慢加強數學能力,但在作者的看法是一種沒意義的迎合考試制度的行為,我們應該保證每一科的基本能力後,就精進自己擅長的部份。而不是作事倍功半的勤能補拙,這並不符合成本效益。

4. 數學好的人是如何學數學

​作者認為:在台灣的考試制度直接或間接的影響之下,目前的學生理解數學都真的是靠天賦,而這個天賦是有其一套作法,如「先學唱歌再看譜」的學習模式,或者可以說是把數學抽象的每一環節自行打通的能力,也就是理解每一部份、或是暫定某環節是公理,之後回來再打通。也就是說「以後會再教、以後你就知道」這種會造成數學疙瘩的事情,數學好的人會想辦法馬上解決、或是之後「記得」解決,而不是含混過去。換言之,數學好的人不會100%完全用別人教學的方式學習,而是靠自己去思索。

5. 數學不好的人與數學好的人,腦袋不同嗎?

作者認為:的確存在差別。數學好的人是對數學問題,腦袋勤勞的人;數學不好的人是行為勤勞的人。

6. 數學不好的人與數學好的人,邏輯觀不同嗎?

作者認為:數學大家都知道會培養邏輯,但大家都僅僅了解的太過片面。數學固然會培養邏輯,但大家並不明白邏輯還有細分三種,語言邏輯(非型式邏輯),演繹邏輯(先驗、形式邏輯),科學邏輯(後驗、歸納邏輯、統計邏輯),而大部份人對於邏輯都尚未學好。好一點的人僅僅是用歸納邏輯及語言邏輯再討論,而數學好的人比較像是機器人,會比較常使用演繹邏輯做事。這邊有關邏輯的內容將在下一篇說明。

7. 數學為什麼這麼抽象,其他學科卻不會?

作者認為:這個問題與上一個問題一樣,生活上的東西大多都是歸納而來的邏輯,再加以推導。即便是科學類的內容,也是歸納邏輯,因為科學的公理有可能會修正,如:四大元素論到現在的元素週期表。

但數學邏輯與歸納邏輯不同,它是演繹的內容,基本上都是正確無誤的內容不斷堆疊組合,換言之用歸納的方式並沒有100%理解。由於數學演繹邏輯的這個特性,導致大部分內容環環相扣,抽象程度也越來越深。所以數學的抽象是因為我們很難由生活上的歸納邏輯來解決,僅僅能用完整及正確的推理方式來讓學生理解,而最好還要搭配「先學唱歌再看譜」。

【數學學習模式圖】

我們先了解目前學習數學的狀況,及作者建議的「先學唱歌再看譜」可能發生的狀況,見圖2

圖2
由圖2可知學習數學的重點就是要如何找出「先學唱歌再看譜的方法」,作者相信引發興趣的切入點不會太多,切入點可能有:

1. 數學的藝術面

2. 生活中應用數學面

3. 人文、歷史面

4. 邏輯、民主面(討論新聞時事)

5. 統計、機率面(社會相關)

6. 資訊與數學相關面

7. 科學與數學結合面

上述並不會讓老師需要學到太多新的內容,並且相信可以對於現在的教學是事半功倍。作者相信與其不斷的反覆練習題目事倍功半,不如讓學生對數學有興趣。
以下將以芬蘭的教育方式為例進行說明。

【芬蘭的教育】
在認識芬蘭教育前,先了解到芬蘭與台灣的差距。芬蘭參與聯合國OECD的PISA( Programme for International Student Assessment) 平均成績優異,造成很多國家思考如何重新修改數學教育。事實上,台灣學生的成績也很優異。但最大的差別是:芬蘭學生成績分布是所有參與國最集中(標準差最小),而台灣學生的成績分布卻是最分散的(標準差最大)。換句話說,芬蘭學生成績都差不多好,台灣學生成績是好的很好,差的很差。為何如此?

作者的解讀是芬蘭特別重視國中小教育,因此教數學的老師都必需是數學學士或碩士。雖然芬蘭的方法未必適用於每個國家,然而確有可借鏡之處:將數學的應用融入當今環境,譬如說世界的問題:由各國國旗上面不同色塊的大小學習分數的意義,由世界有名的高樓(如紐約帝國大廈,台北101...) 的圖像學習長度的「比例」概念。作者認為芬蘭的方法就是「先聽到音樂,再學看譜與樂理」,也就是「先領會數學之美感,再學習數學的邏輯推理」

芬蘭教育的特色是不以成績來逼學生去學習,而是讓學生透過閱讀、獨立思考、找答案、問問題,建構自學能力。台灣應該學習他們的教學模式,不幸的是台灣與芬蘭的師資相比,程度差太多,芬蘭願意在小學用高等且正確的師資來進行教學,認為打好基礎才是最重要的。以及理念也差很多,芬蘭認為學生只要先學會兩大科目就可以,所以對這兩個科目會格外重視。一是語言類:母語與國際語言(英文),二是數學,因為把理性與邏輯的基礎打好後,再去學哪一科都是相當容易,至於記憶類的科目就更不是問題。所以芬蘭的學生沒有五花八門的學科,不會雜而不精的學習,這跟台灣的多元學習相距甚遠,見圖3:芬蘭小學六年級生的課表。

圖3來源:http://www.360doc.com/content/15/0707/00/5315_483227207.shtml

【目前數學及社會窘境】

我們可以發現芬蘭注重語言與數學,而台灣是注重考試制度。作者認為這將進一步破壞學習數學的興趣,因為考試制度會造成數學要在時間內完成,題目過多逼迫學生套公式,並因為想投機而不願意去理解,這是對數學的一大傷害。所以考試制度完全不利學習數學。數學的能力根本不是靠考試來學習,理解才是重點,不理解的死套公式有什麼學習意義,只能造就一堆二三流人才。最後數學不好,就難以培養邏輯,一個邏輯程度越來越差的社會,要如何民主與進步。

【各數學層級的建議方法】

a. 理解數學100%,並且可以教到他人能理解

建議:這類人已經有完整的學習數學方式,但是如果要讓學生更容易吸收,還是建議用先唱歌再看譜的方式教學生。

b. 理解數學100%,但不想教人、或是無法教到他人能理解

建議:這類人已經有完整的學習數學方式,不喜歡教學的不予討論,而需要從事教學行為的人建議多看人文歷史應用等等相關內容,也就是先去試著學唱歌,之後再用先唱歌再看譜的方式教學生。

c. 接近理解數學100%,即理解程度<100%,也就是核心觀念不完全懂、或自以為懂

建議:這類人學習數學方式,仍有不完整之處,建議多看人文歷史應用等等相關內容,也就是先去試著學唱歌,之後再用先唱歌再看譜的方式,產生興趣之後更容易學習數學,並達到100%的理解程度。

d. 理解數學50%左右,半懂

e. 理解數學小於50%,不懂

建議:這類人學習數學方式,由於大部分應該都有數學恐懼,建議多看人文歷史應用等等相關內容,也就是先去試著學唱歌,之後再用先唱歌再看譜的方式,產生興趣之後更容易學習數學,並達到更好的理解程度。

【作者的動機與理念】

作者在求學與教學過程中,發現太多人有數學恐懼,但是台灣一直沒有找到有效方法來讓學生想讀數學。但是作者的經驗,數學分明是一種可以講的沒有瑕疵的內容,理應如一顆透明的水晶,即便有問題,也不過是稜面與光芒導致的一時炫目,怎麼台灣教育會讓大多數人恐懼數學?因此作者企圖讓每個人認識到正確的數學,也就是數學的其他相關面,並且要讓人知道數學並不值得恐懼,僅僅是一門科目。

大多數人會強調數學有用,但大家出社會後也都發現生活大多用不上。作者試圖用迂迴方式讓學生接受數學有用,作者曾經以一種講法對學生說為什麼要學數學:「台灣的科技若要前進,就必然需要科研人才,而數學是其中的一部分,所以必須學數學,又因為人材的結構是金字塔方式呈現,所以基層的人越多,頂端才有機會越高。」但是這樣的方法效果有限,因為還是太多學生認為讓想當科學家的去念數學就好,而還是很多人會數學恐懼,所以只好再試著找另一種方法。

前文有提到保羅‧拉克哈特(Paul Lockhart)繪畫與學習數學關係,所以我們可以知道數學應該有興趣之後才學。而作者之一的吳作樂教授,認為數學是一門藝術,有太多的數學之美被忽略,不管是歷史面還是應用面都很少被介紹,所以有必要讓大家認識數學之美,進而產生興趣。

而另一個作者吳秉翰,長期在補習班教數學,經常思索如何讓學生學習數學更有效率,而最大的癥結點就是沒有興趣,並且發現到學生對於數學的專注力不足且時間不長,需要其他輔助內容來分散壓力,避免學生陷入鑽牛角尖的數學迴圈,但因為不想以生活其他非數學相關的內容來降低壓力。發現到用數學典故、應用、生活上邏輯、民主內容、可以有效讓學生得到更好的學習成果,並且這些輔課也讓學生認識更多的數學相關內容(前文提到的廣度),意外的發現這樣的迂迴方式,有效帶動學生對數學的興趣,或至少可以不害罵怕數學。

而本系列文章建議的方法,都已經實際教學試驗好幾年,成效相當不錯。即便還是有不懂數學、不喜歡數學的人存在,但是幾乎都沒有害怕數學的學生,並且都能接受數學真的是在許多生活上都有相關,而不是以往的嘴巴說說的很有用。

【結論】

在這幾篇的內容中,我們介紹了數學恐懼的成因,是源自多方面的影響,如:考試制度、老師課本、家長社會、學生本身等。因此我們也無法簡單的討論,畢竟如果可以簡單解決的話,也就不會造成那麼嚴重的數學恐懼。

數學恐懼的起點是考試制度,但考試制度在短期間無法改變,但是我們可以從改變考試的方式著手,讓學生從套公式做題目的機器變成理解數學的邏輯人。同時老師及課本應該讓教學內容更令人感到興趣,建議要使用「先學唱歌再看譜」的方式,不要直接學枯燥公式,套題目、還強調有用。同時家長、社會、學生的觀念應該改變,才能理解數學、統計、邏輯。同時也建議要參考芬蘭的教育方式及理念,重視主科(語言及數學),其他內容自然可以容易理解。

對於數學我們到底應該學習哪些內容?作者認為第一步應該將數學、統計、邏輯三者拆開,而這三者的實際使用情況是:「邏輯是無處不用,統計是工作上常用,數學則是依據各人需求而學習某部分而使用。」所以建議要先學好邏輯,再學好統計,而數學則看自身需求選擇性的學習。

最後再次強調一次作者數學理念「先學唱歌再看譜」,有了興趣才容易理解數學。

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「數學家總是充滿著好奇心、創造力與想像力,沒有創意的人當不成數學家或優秀數學教育家;數學教學及教材如果沒有創意來引發學生興趣,令人難以理解。」---波提思