〈數學不好,不是你的錯4〉:數學要如何先學唱歌再看譜

  2394

黃金比例螺線的鸚鵡螺 (來源 維基百科)

延續第一篇「<數學不好,不是你的錯1>:是考試制度的錯&認識數學恐懼症&先學唱歌,再學看譜」、第二篇「<數學不好,不是你的錯2>:建議老師應該怎麼做」、第三篇「<數學不好,不是你的錯3>:建議課本應該怎麼改」、接著來了解,數學要如何先學唱歌再看譜。

在先前的文章,不斷反覆的強調考試制度會造成數學恐懼,而目前最有效的解決辦法是「先學唱歌再看譜」,有興趣之後再來學數學。我們先看一下1959年迪士尼教育短片「唐老鴨的數學冒險之旅」,這部短片在1961年獲得「奧斯卡最佳短片獎」,可說是最佳的數學啟蒙影片。

我們可以發現數學真的要讓人感到有趣以後,才能讓人覺得好學、好懂,接著再舉出各領域的有趣內容供大家參考,也就是數學歌譜。希望每位老師,包括教材都能讓人更容易學習數學內容。

【數學與藝術】

  • 投影藝術

參考下列各圖可以發現畫家會利用數學的幾何結構來幫助構圖。

圖1:彼得羅.佩魯吉諾的畫作運用數學的「透視原理」,強化空間景深及層次感。

圖2:杜勒的木刻:描述透視法繪畫的技巧。

圖3:透視畫法的幾何原理示意圖。

  • 黃金比例

認識具有黃金比例的圖片。

圖4:艾菲爾鐵塔的上下比例。

圖5:熱帶低氣壓(黃金比例螺線)。

  • 碎型

圖6:碎型雪花。

圖6:碎型。

 

  • 幻覺藝術

可參考下圖或連結1:https://www.youtube.com/watch?v=Ub0-umy9xX0
連結2:https://www.youtube.com/watch?v=mXdBJlWQI34

圖7:以秦俑坑為背景的大型立體地畫,出處:香港歷史博物館。

圖8:立體畫的幾何原理示意圖。

【數學與音樂】

數學家畢達哥拉斯創立了音階。畢達哥拉斯先找出大多數人喜歡的聲音,作為基準音C,再根據此音的弦長度按壓不同的位置,找出大多數人能接受與C一起彈奏時具有合音效果的音,與C具合音效果的音在現在被稱為C和弦,並且發現這些音的弦長按壓點的比例是整數比。於是畢達哥拉斯利用這些概念決定了音程,最後創造出「五音的音律」。表1是放上七音的音律部分,這也是弦樂器按的位置,一直沿用至今。

表1

音階的產生不是那麼的容易,它存在音程的問題。現在的音階是約翰‧白努利(John‧Bernoulli),在一次的旅行途中,遇見音樂家巴哈(Bach),為了解決某些音程的半音+半音不等於一個全音的問題,發現到其音程結構,如同。如果令每30度一個音程,就可以漂亮解決全音、半音問題。其結構就是現在的「平均律」,即12個半音的音階,因為360度可以切成12個30度,並讓現代創造出各式各樣的音樂,見圖9。

圖9

同時熟知的聲音Do、Re、Mi是一種波形,以及單音組成的和弦也是波形,如:Do+Mi+Sol=C大三和弦,可用數學方程式表現。見圖10、11。或參考此連結:https://www.youtube.com/watch?v=WZTtX6L7Wzk

圖10:Fa的函數圖

圖11:C和弦的函數圖

【數學的人文】

高斯做出正十七邊形,對我們的啟發

在十八世紀,德國哥廷根大學,高斯的導師給他三個數學問題。前兩題很快就完成了。但第三題-用尺規作圖作出正十七邊形,卻毫無進展。但高斯還是用幾個晚上完成了,見圖12。當導師接過作業,驚訝的說:「這是你一人想出來的嗎?你知道嘛,你解開一題從希臘時期到現在的千古難題!阿基米德沒有解決,牛頓也沒有解決,你竟然幾個晚上就解出來了。你是個真正的天才!」

為什麼他的導師沒跟高斯說,這是千古難題。原來他的導師也想解開這個數學題目。只是不小心將寫有這道題目的紙交給了高斯。當高斯回憶起這件事時,總說:「如果告訴我,這是數學千古難題,我可能永遠也沒有信心將它解出來。」

從高斯的故事告訴我們,很多事情在不清楚其難易度時,我們會將他當作是能力範圍內的事,而使用一切的方法,透過多種思考角度創造出新的解法來解決問題。可見人在沒有心理的預設立場的情況下,沒有被告知這題很難,就不會被數學難易度所束縛住,便沒有數學恐懼,反而更有勇氣解題,這與現在的數學教育大相逕庭

由此看來,真正的問題,並不是難不難,而是我們怕不怕,以及能不能活用一切工具與基礎觀念。所以我們要避免被恐懼抹煞了創造力,我們可以用基礎的觀念創造想要的答案。身為老師不應該跟學生說這題很難,這樣的暗示反而會降低學生的信心與勇氣。

圖12:因為正17邊形太接近圓形,故以17星形表示。

【數學與地理】

難以察覺的圖表錯誤-非洲比你想像的大很多

地圖學家傑拉杜斯·麥卡托(Gerardus Mercator)繪製世界地圖,稱麥卡托投影法,經緯線於任何位置皆垂直相交,使得整個世界地圖攤平後變成長方形,見圖13。

地圖可顯示任兩點間的正確方位,之後成為繪製航海圖、航路圖等多種地圖。而經過投影中線型比例尺,在圖中任意一點周圍都維持不變的情況下,就可以保持大陸輪廓投影後的角度和形狀不變(即等角);但麥卡托投影會讓面積產生變形,極點的比例甚至達到了無窮大。而靠近赤道的部分又被壓縮的很嚴重。見圖14。

圖14

圖14可看到這個壓縮變形嚴重的原因,是由於高緯度地區被放大,低緯度地區被縮小。所以這種地圖的非洲大陸就被縮小了,事實上非洲可放下許多的國家。見圖15。

【數學與歷史】

大家不會陌生這個故事「伽利略在比薩斜塔丟鐵鎚與羽毛的實驗」,實際上它並沒有丟,總而言之伽利略提出正確的拋物線原理,不是亞理斯多德提到的「斜直線、四分之一圓弧、鉛錘線」,伽利略提出了一個理性數學的思考模型。

此外,在柏弟尼的畫中,見圖16,可看見伽利略向威尼斯的官員,說明如何使用他發明的望遠鏡觀看金星,而金星之所以會在那個時間點出現是因為經過他嚴密的計算而來。

圖16

到了18世紀,思想家們的主要目標,是為所有的問題尋求數學的解決方法;正因為如此,這時期被稱為「理性的時代」或「啟蒙時代」,而所謂的「理性」,就是演繹數學的推理精神和方法。如:牛頓使用這個方法論及新工具微積分,從他所提出的公理「萬有引力」開始,不但證明了克卜勒的行星三大運動定律,也證明出所有關於力學的結果。

換句話說,西方的歷史滾動到啟蒙時代完全是建立在對數學的認知上,所以認識數學越遠,對科技的利用越深刻,直至今日仍是如此。

【數學、邏輯與民主】

將在之後介紹。

【數學應用】

在此我們要強調應該介紹真實的應用。

  • 地球半徑與月球距離

喜帕恰斯計算地球半徑的過程概述如下:爬上一座3英里高的山,向地平線望去,測量視線和垂直線之間的夾角,測得角近似於87.67度,見圖17。

圖17:計算地球半徑示意圖

利用正弦函數計算R

喜帕恰斯算出地球半徑3944.37英里,與現代科技測量到的地球半徑3961.3英里,只差17英里,誤差值不到0.4% !

地球到月球的距離,也是同理

假設:1.從地球中心到月球中心為圖中的A點到B點

          2.由B作一條至地球表面的切線,並知道其夾角為89.05度

          3.切點為C,如圖18所示

圖18:計算地球到月球距離示意圖

利用餘弦函數計算距離

與現代高科技測量到的「平均距離」240,000英里,相比較之下,誤差值不到0.8%

2200年前的喜帕恰斯運用三角測量學,就得到如此驚人的結果,簡直是酷!

  • 核能廠與雙曲線

圖19:取自WIKI,核能冷卻塔。

英格蘭劍橋郡的冷卻塔,發電廠的冷卻塔結構都是單葉雙曲面形狀。它可以用直的鋼樑建造。這樣既可減少風的阻力,又可以用最少的材料來維持結構的完整。

  • 體外震波碎石與橢圓形

醫療中不難聽到用震波打碎結石,此技術稱為體外震波碎石,原理是一個橢圓半碗的機器中,在焦點的位置振動能量波,經反彈後,會聚焦到體內另外一個焦點,而藉由移動讓結石在焦點上,達到被打碎的結果。

好處是各個波動的前進路線不同,接觸皮膚的截面積較大,因此不會為身體帶來太大的負擔。否則像雷射光一樣的路線,雖然也是可以打碎結石,但路線太過密集,就會導致路線上的細胞組織壞死。可參考圖20。

圖20,體外震波碎石原理,參考自連結:http://www.geocities.ws/lifepeople/dir5/aam028.htm

【數學在現代的意義】

數學是型態的科學,在現代大多數人都不懂數學,誤解數學的本質。多數人還是認為數學是算術、數字的學問而已,或是套套公式就好,而不願去理解。

建議方法:目前數學家對「數學的意涵」已有共識:「數學是一種-研究型態、模式(pattern)的科學(science of patterns)。」數學家就是在研究抽象的模式,也就是真實存在(用數值反推導)、或想像(用演繹的)的學問。不同種類的模式有不同的內容:

‧ 幾何學是研究形狀模式。

‧ 微積分是研究運動模式。

‧ 邏輯學是研究推論模式。

‧ 統計學是研究數據模式。

【結論】

我們要知道數學有趣的內容對於學習是非常重要,我們也知道化學有些物質是助燃劑,本身不參與燃燒卻幫助燃燒;以及有一種物質是催化劑,可以增加效率,還有一種物質是抑制劑,可以降低效率。在前文提到的各種數學恐懼的成因,就是理解數學的抑制劑,而認識數學有趣的內容(先學唱歌),正是理解數學(再看譜)的助燃劑、或是催化劑。

有的人認為直接學習數學式、練習題目比較重要,但這是錯誤的認知。保羅‧拉克哈特(Paul Lockhart:美國數學教育家)提到過,他在夢中學習繪畫的順序,是先學調色、空間構圖...等畫畫原理,才來練習畫畫,令他感到有夠無趣。他醒來後想到的是,數學教育目前正陷於這種無趣的學習方式之中。於是他提出數學應該有興趣後才學習,這跟作者提出的「先學唱歌再看譜」不謀而合。

在此僅僅在各個領域舉出「先學唱歌再看譜」的案例,事實上處處藏有數學,數學有意思的地方相當多。換言之老師只要找到有趣的地方,便能提高學生學習數學的興趣。

--------------------

同時如果想知道更多的數學有趣的內容,可以參考你沒看過的數學」、「圖解數學

--------------------

哪裡有數,哪裡就有美!——普洛克拉斯(Proclus, 410-485 BC)