〈數學不好 不是你的錯2〉:建議老師應該怎麼做

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延續上一篇「數學不好,不是你的錯1〉:是考試制度的錯&認識數學恐懼症&先學唱歌,再學看譜」接下來我們來討論一下在學習數學過程中,有那些因素會讓學生產生恐懼,進而排斥數學,見圖1。

圖1

最直接的問題有二個,分別是依考試制度影響老師的授課內容、另外就是因為課本內容無趣,導致學生在學習過程中感到無趣,這二個直接或間接影響學生產生數學恐懼症。 

【數學恐懼、數學無趣的原因】

老師造成數學恐懼、數學無趣部份,並建議方法:

1. [先背公式,先背無意義的東西]。建議方法:應該理解公式由來、原理、應用,會使用公式即可,不用背。

2. [這裡很難,要專心聽,先恐嚇形成錯誤制約]。建議方法:應該直接說明即可,恐嚇無助於任何理解。

3. [數學很有用,數學是科學的基礎,但是根本不知哪裡有用]。建議方法:要明白數學大部份對大多數人都沒有用,用沒意義的前提壓迫學生學習,無助於學習。並要明白數學是描述科學的語言,是一種工具,並非科學的基礎。

4. [用打罵教育來逼學生唸書]。建議方法:僅有一時成效,應該先學唱歌再看譜,鼓勵學生學習。

5. [教特例題目,考變化型題目,用套公式的教法,卻期望學生會自行變化,自相矛盾]。建議方法:應該以討論原理的方式,讓學生學會應用而非一昧的硬套。

6. [只接受標準流程的建議方法,不尊重學生的解題方法]。建議方法:應該鼓勵學生多思考,培養具有創造力的學生。

7. [誤認為成績高分就是懂數學,並認為熟能生巧,所以誤會計算快(珠心算)就是會數學,但這並非培養數學而是培養一個技術,最終會成為一個計算機]。建議方法:成績與熟練相關,但這兩者都與理解不相關,換言之土法煉鋼的多練習幾次就能體會,不是正確的教學方式,老師應該具備找出學生問題的能力。

8. [誤會數學也可以快樂學習、被動式學習(自然而然學會)]。建議方法:事實上學習對於大多數人都是不快樂的,而目前大多數老師的教法是用分數或成就感來產生快樂,所以如果學生的分數或成就感不達標根本不能產生快樂。而被動式的、自然而然的學會數學,僅僅少數人可以做到,所以也不能算是一個好方法。應該理解公式由來、原理、應用,會使用公式即可。

9. [老師並沒思考學生是真會,還是假會,僅用詢問的方式:「上次的懂了嗎?」]。建議方法:作者認為台灣學生不知道怎麼發問,不知道問題在哪,導致不愛、不敢發問,所以很大程度學生還是不會,最後造成學生在某個環節脫節,就一直跟不上進度,進而放棄數學應該先行討論常見錯誤,或由習題、或由考試常見錯誤,進行再次講解。

10. [沒有解釋數學符號、方程式、流程,為什麼會這麼多的原因?]建議方法:要讓學生知道數學符號、方程式多是因為因應各式各樣的問題,進而產生的簡化行為,否則只能以文字不斷描述。而流程是因為不願將一個公式變成許多公式。

11. [作者觀察到很少有老師想培養新一代數學人才(新一代老師),以及想傳承自己的特色教學,也就是創造出不同於現在的制式內容,更容易讓學生吸收的教法]。建議方法:老師應該要花時間去觀察國外的教法,或是努力思考什麼是學生可以更容易接受的內容,而非僅利用現有的教學內容。要知道如果沒有創新,我們的人才的產生率只會一成不變。

12. [大多數人認為數學可以勤能補拙]。建議方法:我們要知道勤能補拙一件愚蠢的事情,應該是天生我材必有用,找一個可以發揮自己優點的事情,才會有興趣,也才能長久,怎麼會是去做自己不擅長的事情呢?

我們必須接受人生而不平等,不是每個人都有一樣的天賦能力可以理解數學,所以我們要用有效的方法來勤能補拙,也就是老師要勤勞的找到可引發興趣的教學方式,來補救拙劣理解能力的學生。而不是學生勤能補拙,因為不理解的套公式再多遍還是不懂,在數學上用套公式的勤能補拙是沒意義的,應該是在推導公式上勤能補拙。同理在其他學科也是一樣,想要每科都用勤能補拙,只會樣樣都很稀鬆,以及討厭念書。

13. [證明的方法不能讓學生完全接受]。建議方法:作者發現很多時候我們的數學教育,是「先背公式,套公式後,得到答案」,再與「原本方法」比較答案,發現都一樣後,就說公式合理,並再多做類題幾次的結果都正確,就歸納出公式可用。但是也就是歸納這個動作,讓學生心理有瑕疵,因為學生總會忍不住去思考萬一出現特例呢?

先了解到目前證明有兩大方式:A直接證明,也就是邏輯推導,也就是演繹的方式。B間接說明,也就是結果正確就說公式合理(結果論),也就是歸納的方式。

觀察以下案例,思考兩種方式的差異性。

案例a.分配律:a×(b+c)=ab+ac,已知2×(3+4)= 2×7=14,而套公式2×(3+4)= 2×3+2×4=6+8=14也是正確,於是說公式合理。但這會讓學生心理對公式產生不完全認可。我們應該直接以圖案方式認同分配律,見圖2。

圖2

案例b.一元二次方程式的公式解:

已知x2+5x+4=0,經套公式可知x=-1或-3,其解代入回原式使得等號成立,於是說公式合理。但這會讓學生心理對公式產生不完全認可。我們應該用配方法推導公式,再讓學生接受公式的合理性(在此不介紹配方法)。

數學不是物理,不能因為歸納後的結果正確,就希望學生100%接受公式。數學應該要有啟發性(Heuristic)、邏輯性。不能因為多次結果正確,就歸納每次都會正確,最後直接接受公式。我們不能用歸納的方式學數學,數學是「唯一」用完整邏輯演繹的學問,所以希臘時代的幾何定理至今永遠正確。

同時這也是為什麼數學家強調數學永遠不會修正的原因,因為演繹是基於正確的每一環節推導的內容,不斷堆疊而成的內容都會是正確。而歸納的內容(如物理化學)總是有一絲絲可能性產生問題,但數學並不是由歸納而來,所以不存在修正問題。

【結論】

數學不會全部也沒關係,數學對於大多數人僅會用到小部分,邏輯才是全部人要會的內容,統計是大多數人工作的工具,所以數學不一定全都有用。同時我們不用去怕數學,也不一定要喜歡上、愛上數學,僅需要去欣賞數學的藝術面,以及了解與其相關的人文歷史、及民主的相關內容。

數學不同於其他科目,其他科目擁有著或多或少的深度與廣度,而數學竟然剩熟練度與一點點的深度。先解釋名詞定義,深度意指邏輯推導數學式;廣度是指真實生活的應用、以及觸類旁通在其他科目的相關性、數學式的歷史脈絡、人文歷史藝術性;而熟練度是為了考試部分。我們都知道蓋高樓前要先打地基,而打地基就是挖洞,要把洞挖好,第一步是廣、下一步才能挖得夠深,最後經驗豐富後就能在許多地方建設。

我們的數學陷入一種八股的狀態,會看題目套公式解題就好,卻缺乏創意、讓學生沒有興趣學習。這邊要依靠教材及老師來解決問題,但又受制於文化及考試制度,使大家一直難以學習數學。

由以上的內容可知,台灣的數學教育,老師及課本還有很長一段路要走,但我們只要掌握到一個重點「先學唱歌再看譜」,或是理解為「先廣度、再深度、最後才是熟練度」,這樣至少可以保持學生的興趣,或不會恐懼數學。

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「數學對大多數人沒有用,多數人只需會基礎數學;

數學對極少數人才有用,高等數學該被用在需要的人。」---波提思