〈數學不好,不是你的錯1〉:是考試制度的錯&認識數學恐懼症&先學唱歌,再學看譜

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在全世界數學普遍都是學生的噩夢,甚至有聽到數學兩個字、或是看到數學符號、或方程式就產生頭痛或不舒服的症狀,這些都是數學恐懼症的症狀。而數學教育到底發生了什麼事讓人會產生這些症狀?為什麼這麼難以學習?為什麼對數學沒有興趣?在此作者是以台灣文化及台灣學生作為主要討論對象。而作者也觀察到學生對於數學的觀感是每一個時期都逐漸惡化,以下是由作者主觀的感覺所製成的表。

表1

【數學恐懼症】

如果我們把數學恐懼當作是一種症狀的話,那必定有其原因。依作者多年的教學與當學生的經驗,可以將對數學害怕及沒有興趣的原因歸納如下,並可參考彼此之間的關係圖,見圖1。

圖1

  • 數學恐懼的原因:
  1. 考試制度部分
  2. 老師、課本部分
  3. 家長與社會部分
  4. 數學無趣卻被迫必須學
  • 對數學沒有興趣的原因:
  1. 不認識數學,認為數學僅是算術、或科學之母(基礎、工具)
  2. 不懂數學、統計、邏輯三者的差異
  3. 不懂數學與民主有關
  4. 不懂數學與藝術有關
  5. 不懂數學與宗教、哲學有關
  6. 不懂數學與推動歷史有關
  7. 不懂數學並非全部對自己有用,不懂數學其實每個人可能都只能用到一部份,大家應該了解「數學大多數時候對自己都沒用,以及不會了其實也沒關係,沒有必要害怕。」
  8. 誤以為數學成績高就是懂,懂了就會喜歡,殊不知真正的懂數學跟成績、喜歡一點關係都沒有,在此也一併介紹對數學的理解程度差異分法:

a. 理解數學100%,並且可以教到他人能理解

b. 理解數學100%,但不想教人、或是無法教到他人能理解

c. 接近理解數學100%,即理解程度<100%,也就是核心觀念不完全懂、或自以為懂

d. 理解數學50%左右,半懂

e. 理解數學小於50%,不懂

上述的分法是比較大方向的討論,之後會再有更多的文章來仔細描述對數學恐懼及對數學沒有興趣的成因與解法。

【對於數學教育該怎麼做?先學唱歌再看譜】

由圖1的情況,我們可將其切成三大部分來解決數學恐懼的成因,見圖2。

圖2

  • 考試制度

台灣是升學主義的國家,所以評鑑的方式就是以考試的成績作為取捨,然而數學考試的方式卻會造成各個面向出問題,並導致數學恐懼。在此先單獨討論考試制度的直接影響數學恐懼部分。

台灣的考試最直接的問題是,考試題數過多,時間不夠,令人困惑考的究竟是熟練度(死套公式,以及計算速度),還是理解度。而此問題會進一步變成分數高就是懂數學,但其實不懂,以後遇到變形、或需要思考的問題就不知所措。

建議方法:台灣的考試制度需要修正,要考驗學生懂不懂而不是計算快不快,建議方法是數學大考只考10題,以100分鐘為限,給足充分時間來思考與計算。要知道我們是要培養一個懂數學的人,而非只會套公式的計算機。並去除選擇題,都用填充題、應用題,並要求說明清楚,保證會就是會、不會就是不會,不存在猜對的情況,才能培養出真正不怕數學、理解數學的人。

  • 老師、課本、無趣

考試制度也影響著老師與課本,由於考試的壓力,導致無法解釋與數學的相關內容,如歷史典故(數學與歷史、民主、哲學、自然界的關係等)、實際應用,僅能利用時間把數學觀念帶完,接著就是不斷的練習題目、並且只有練習特例的題目(生活上看不到的題目),這是多麼無趣的學習方式。

甚至有的老師會要求先背公式,這也是不對的教學方式,我們應該利用嘗試錯誤的方式,以及走一遍數學家創造公式的辛苦心路歷程來教學,不能讓學生先背公式,這樣的方法太抽象,也太嚇人。會讓人誤會數學家都是天才,並妄自菲薄的認為自己是普通人,不是天才所以不用學會數學。

建議方法:我們知道數學和音樂兩者皆是較抽象的學問,但卻有截然不同的學習過程。就音樂而言,是先聽到(欣賞),再學看樂譜(抽象符號正確表達音高、旋律、 和聲...等)。換句話說「先聽到音樂,再學看譜與樂理」,才能引發興趣來學習。

至於現代的數學教育,卻反其道而行。先學抽象符號( x、y、z) 的計算規則及練習,再學習一些與實際應用未必相關的練習題,並稱之為「應用題」。這種情況不只充斥於國高中數學課本,連大學的微積分課本也是如此。也就是說:數學教育是「先學看譜和樂理,但有沒有聽到音樂,期待以後自然會發生」。所以在學抽象的數學時,直接學很難理解的抽象內容,但這並不符合人類「有興趣才學」的學習行為。

  • 家長、社會

台灣的家長與社會都有許多數學迷思,如:「數學很有用」、「數學是科學的基礎」、「會數學是IQ高可以高人一等」、「數學好就是算術好」、「將統計與邏輯當作數學的一部份」、「數學分數越高,計算越熟練,就是越懂數學」...等迷思。在此難以一一列出各個迷思,並說明哪裡錯誤,僅說明幾個比較嚴重的問題:

1. 數學很有用、數學是科學的基礎,所以你必須認真學習,這種壓迫性的說法,會造成很多學生的反彈,如果加上數學是無趣又難懂,會讓學生抱持著反正以後不當科學家、或工程師就無所謂的態度。

建議方法:
先思考問題可能的起點,台灣受中國文化的影響,而中國文化自古以來就是把數學當作是一門技術,如:討論未知數的天元術。而非把數學當作是科學,事實上中國一直以來,沒有所謂的科學的概念,大多數情況相當現實、必須要有用的東西才會有人去研究。所以我們的數學要進步、且要讓人想學,必須要以它不一定有用的角度來討論。

如果把數學視作為很有用,那麼我們變相是背負著壓力前行。但實際上許多的數學家並不是以數學很有用作為出發點來學數學,而是以藝術來學習數學,如:大數學家哈代(G.H. Hardy)。所以數學要學的好,不能以有用、科學的基礎作為出發點,而是以藝術為出發點、或是以學習民主作為出發點、或是其它有趣的應用作為出發點。不能僅僅以數學很重要、數學很有用,作為學生念數學的誘因。

​2. 數學好就是算術好,我們不會陌生有許多人學過珠心算,並認為會計算就是數學好,但理解能力真的是好嗎?或是聽到過你數學好趕快幫我加一下這些數字的總合,難道數學好的人是計算機嗎?我們也不會認為觀光系的人對於全世界的觀光景點都如數家珍吧。

建議方法:事實上部分數學家的計算能力很差,我們要培養的是數學的理解能力,而非計算能力,將算術誤解就是數學是最大的錯誤。

3. 將統計與邏輯當作數學的一部份。因為害怕數學、學不好數學、就連帶沒學好統計與邏輯。

建議方法:數學不該概括到統計、邏輯,這兩大項目本來就是與數學各為獨立輔助的關係,現在的數學教育大抵上包括算術、代數、幾何、統計、邏輯。但邏輯分明是一種形而上的學問,每個科目都會用到的學科,怎麼會放在數學課本之中來教導。

如果學生因為討厭數學,而連帶不念邏輯,豈不失去練習的機會,更別提學會邏輯才能培養民主的認知;同時統計是如同物理一般的應用數學,以數學符號來詮釋的科目,相信有部分的人一定有相當大的感受它跟數學其實很不一樣,相當的好念,會實作即可,跟生活上也相當大的有連結性。同理如果統計也因討厭數學而不念,這樣是多麼的不妥。

現在的數學教育應該將其切出去,獨立成數學、邏輯、統計三個科目,但仍可讓數學相關的教師來教導。這樣方可保持念邏輯、統計的興趣,要知道不會數學也沒關係,但邏輯是重要的,統計也是生活常用到的工具。

【結論】

我們要知道萬物皆數,每個地方都能看見數學的蹤跡。不同的人使用數學的方式不同,就會有不一樣的功能出現。絕大多數人都認為數學是科學的基礎,然而就僅僅於此了嗎?大多數人不懂數學的功能面,數學可是藝術的基礎,也能藉由數學培養邏輯性,更進一步學習民主,我們參考希臘的七藝,就可以明白數學是如何推動民主歷史,也有的人認為數學是學習研究型態(pattern)的科學。有鑑於此,數學比你想的更重要,絕非僅僅是其他理科的基礎,或是完全錯誤的認知只認為是拿來考試升學用的其中一科。

我們要明白數學沒有全都有用,對於每個人僅需要一部份,並不是每個人全部數學都用的到,所以對於沒用到的部分,我們並不需要怕它。而大家至少要會的程度是:「全部人都應該要學會邏輯,大多數人都用的到統計,理工科的人不可避免數學。」由此我們可以知道大家各自需要數學的哪一部份。

同時我們要用正確的方式學習數學,也就是「先學唱歌再看譜」,有興趣了再來學,並了解到數學只是一個科目,如果不會了也沒關係,沒有一定要喜歡或是厭惡、甚至害怕。

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「數學的能力,從來都不是靠考試就能培養出來」---波提思

「數學的學習方式,要先學唱歌再看譜,有了興趣再來學」---波提思