天文學就是一門應用數學!

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Mathematics is the alphabet with which God has written the Universe.

Mathematics is the alphabet with which God has written the Universe. (來源 維基百科)

早在巴比倫及希臘時期,當時的人就對天體運行有一定了解,並認為腳下的星球(地球)是圓的,並且也做了相當多的觀察、計算與預測,來更認識宇宙。當時希臘的蘇格拉底(Socrates)是第一個提出人類最終會出去探索太空。

【西方的地圓天圓與中國的天圓地方】

希臘人認為「地是圓的」與中國的「天圓地方」有著根本上的不同。在此作者認為這是環境及文化帶來的影響,中國的大部分地區因為不靠海,比較難以體會船從遠方回來會先是桅杆出現,慢慢升高才是整個船體,進而聯想到地球是圓的這件事,或者是根本不在乎這個問題。相對於中國,西方國家受到各種文化的衝擊,想像力非常的豐富也富有科學家精神的不斷觀察與驗證,最後證實地球是圓的。

【地心說】

西方的宇宙觀原本認為地球是宇宙的中心,所有的星球都是繞地球轉的地心說。古埃及的托勒密(Claudius Ptolemy)將地心說的模型發展完善,見圖1、2,有77個天體繞行地球,且為了解釋某些行星的逆行現象(即在某些時候,從地球上看那些星體的運動軌跡,有時這些星體會往反方向行走),因此他提出了本輪的理論,即這些星體除了繞地軌道外,還會沿著一些小軌道運轉。後來,天主教教會接納此為世界觀的「正統理論」。托勒密的理論能初步的解釋從地球上所看到的現象,但是在文藝復興時代,隨著科學技術的進步,一些支持日心說的證據逐漸出現,且有些證據無法以地心說解釋,地心說逐漸占了下風。

圖1:托勒密的宇宙體系圖

圖2:1568年的地心說宇宙模型

【日心說與哥白尼】

在西元前300多年的赫拉克里特(Heraclitus)和阿里斯塔克斯(Aristarkhos)就已經提到過太陽是宇宙的中心,地球圍繞太陽運動。但大地會動在古代是令人非常難以接受的。一直到了文藝復興時期,尼古拉·哥白尼(Nicolas Copernicus,1473-1543是文藝復興時期波蘭數學家、天文學家)提倡日心說模型,提到太陽為宇宙的中心。

他認為神創造了宇宙,神不會用77個天體沿著圓形軌道繞地球,這個方法太笨了。應該是天體(含地球)繞著太陽,最終他以31個圓形軌道的日心說,取代77個圓形軌道的地心說,見圖3但因為他的論點與當時大多數人的認知不同,所以他並沒有成功的將日心說推廣。1543年哥白尼臨終前發表了《天體運行論》。這本書被認為是現代天文學的起步點,開啟了哥白尼革命,並對推動科學革命作出了重要貢獻。

日心說的推行之所以受到阻礙,是因托勒密的地心說能與當時的觀測數據相當吻合,因此即使在《天體運行論》出版以後的半個多世紀裡,日心說仍然很少受到關注,支持者更是非常稀少。

圖3:《天體運行論》中哥白尼的宇宙觀

【伽利略、克卜勒奠定日心說】

1609年伽利略(Galileo Galilei,1564-1642,義大利物理學家、數學家、天文學家及哲學家,科學革命中的重要人物。)自行製作天文望遠鏡,並發現一些可以支持日心說的天文現象後,日心說才開始引起人們的關注,見圖4。這些天文現象主要是指木星、金星有不符合托勒密系統的錯誤,他觀測到木星有其衛星的存在,該衛星繞行木星,與亞里斯多德地心說的所有天體都會繞地球轉,地心說不符合真實,並注意到金星也有類似月亮盈虧的變化,但這與太陽有關,所以他認為宇宙應該是日心說。但仍然不被接受,並被教廷視為異端。他反駁的理由是:「聖經並沒有提到太陽轉地球繞」,而後受到教廷逼迫,他必須承認地心論是正確,但最後大家還是慢慢的了解到日心論的內容。

哥白尼的日心說數據和托勒密的數據,都不能與觀測完全吻合,因此日心說此時仍不具優勢。直至克卜勒(Kepler)以橢圓軌道取代圓形軌道修正了日心說之後,日心說才真正的讓大家接受;而日心說大概在17世紀左右傳到中國。

圖4:伽利略使用自製的望遠鏡讓教廷的人觀察他預測的木星

伽利略除了觀察到木星,也觀測到金星、土星、海王星。其中觀測土星時,將土星光環誤判為行星,以為這是一個由三部分組成的星系。而海王星在他書中將其記錄為一個不起眼的、幽暗的天體,並誤認海王星是一顆恆星。當時他並沒有意識到這是一顆行星。他繼續記錄著海王星相對於其他天體的運行軌跡,直到最後丟失目標為止。

【牛頓與日心說】

牛頓(Isaac Newton)是英格蘭物理學家、數學家、天文學家、自然哲學家。他發表《自然哲學的數學原理 Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica》,見圖5,闡述了萬有引力和三大運動定律,奠定了此後三個世紀的力學和天文學的基礎,成為了現代工程學的基礎。他用數學推導克卜勒行星運動定律與他的重力理論間的一致性,展示了地面物體與天體的運動都遵循著相同的自然定律;為日心說提供了強而有力的理論支持,並推動了科學革命。同時牛頓是一個虔誠的基督徒,他把這一切的榮耀歸功於神,才使得教廷漸漸接受日心說的內容。而後各國天文學家相繼不斷完善太陽系的天體內容。

圖5:自然哲學的數學原理

【容易觀察到的行星】

除了太陽、月亮外,地球最常觀察到的是金、木、水、火、土五個行星,可以發現他是用五行的名稱,因為中國也有觀察到這五個行星,並以五行的顏色來命名行星:木青、火赤、土黃、金白、水黑。接著來認識個星球,見圖6。

圖6:太陽系的九大行星、太陽、月亮。

● 水星(Mercury,太陽系第一個行星)

水星在西元前三千年就被閃族人(Semites)發現。最早的有詳細記錄觀察數據的是巴比倫人(Babylon)。而希臘人給它起了兩個古老的名字,出現在早晨時叫阿波羅(Apollo),出現在傍晚叫赫耳墨斯(Hermes),但是希臘天文學家知道這兩個名字表示的是同一星體。

希臘哲學家赫拉克利特(Heraclitus)認為水星和金星是繞太陽公轉的而不是地球。水星的觀測因為它過於接近太陽而變的非常複雜;在地球可以觀測它的唯一時間是在日出或日落時。水星軌道的近日點每世紀比牛頓力學的預測多出43秒,這種現象直到20世紀才從愛因斯坦(Albert Einstein)的廣義相對論得到解釋。

● 金星(Venus,太陽系第二個行星)

在地球觀察金星時,金星是除了太陽外最亮的星體,因為其他的恆星距離地球太遠,而沒有金星明亮,見圖7;同時金星也具有盈虧現象,見圖8。

圖7:取自WIKI,CC3.0,作者Brocken Inaglory

圖8:取自WIKI,作者Statis Kalyvas

● 火星(Mars,太陽系第四個行星)

在地球觀察火星會呈現紅色。火星也是引發天文學最重要的啟發,如:克卜勒探索行星運動定律時,是依據第谷(Tycho Brahe)積累的大量精密火星運行觀測資料來研究。同時火星也是21世紀的最重要的太空目標。

● 木星(Jupiter,太陽系第五個行星)

從地球看木星,是月球和金星之後,是夜空平均第三亮的天體。在古代,它是除了地球之外已知的五顆行星中最大的一顆,

● 土星(Saturn,太陽系第六個行星)

從地球看土星是肉眼可見的五顆行星中距離最遠的一顆,其他四顆是水星、金星、火星和木星。直到1781年發現天王星,土星是早期的天文學家所知道的最後一顆行星,最廣為人知的土星特色是擁有土星環。

【靠數學推論才確定的行星、天體】

● 天王星(Uranus,太陽系第七個行星)

英國天文學家赫歇爾(Frederick William Herschel)用他自製的望遠鏡進行星空觀測,發現了一個奇怪的星體,一開始還以為是彗星。赫歇爾根據所得到的觀測數據,計算出的軌道近似圓形,並且此星體比土星還要遠。他認為這是一顆新行星。

後來法國天文學家拉普拉斯(Laplace)算出了它的軌道,距離太陽19.18天文單位(1天文單位(AU)爲太陽與地球的平均距離,約等於1.49億公里)。經過一段時間的觀測之後,天文界終於確定這是太陽系里的一顆新行星,它與太陽之間的距離,比當時所知最遠的行星(土星)的距離遠了一倍。

● 海王星(Neptune,太陽系第八個行星)

拉普拉斯被號稱「法蘭西的牛頓」,天體力學在他的手中逐漸臻於完善。而曾擔任拉普拉斯助手的法國天文學家布瓦(Alexis Bouvard)將天王星軌道的計算結果做成完整的表出版。但天王星被觀測到的位置與布瓦的計算結果不一致。布瓦猜想誤差來自於某個未被人類發現的新星球吸引的效應,但他沒有展開搜索新行星。布瓦的繼任者阿拉戈(Dominique François Jean Arago)在 1845 年與勒維耶(Urbain Jean Joseph Le Verrier)研究天王星軌道。勒維耶預測出新行星的軌道及最接近的出現時間,但由於巴黎天文台由於缺乏適當的儀器,他便請柏林天文台的天文學家伽勒協助(Johann Gottfried Galle)。觀測結果與勒維耶預測的位置僅差一度以內!最後新行星取名為「海王星(Neptune)」,以希臘神話的海神波塞頓(Poseidon)手上的三叉戟 ♆ 為象徵符號。

令人驚艷的是勒維耶本身無法直接觀測到海王星,僅以數據的數學推導出行星軌道,就能得到近乎完美的結果,由此可見天文學家有多麼相信數學可以描述世界。

● 冥王星(Pluto,太陽系第九個行星)

十九世紀末天文學家根據對海王星的觀察,推測還有其他行星影響天王星軌道。最後在1930年克萊德·湯博(Clyde William Tombaugh)發現冥王星。

● 黑洞(Black hole)

根據廣義相對論可推論,在宇宙空間中存在一種質量相當大的天體(或星體)。該天體的重力非常大,重力大到大量可測物質和輻射都無法逃逸,甚至光也無法逃逸,像是掉落洞中跑不掉。而熱力學上有完全不反射光線的黑體,因此將這種天體命名「黑洞」,圖9。在黑洞周圍存在一個無法偵測的區域,也就是無法返回的臨界點,而在黑洞中心有一個密度趨近於無限的「奇異點」

雖然無法直接觀察到黑洞,因為連光都被吞噬,但可以通過測量黑洞周圍天體的作用和影響,來間接觀測或推測到黑洞的存在。如果黑洞吸入恆星時,氣體會劇烈摩擦而強烈發熱,並發出X射線。藉由對這類X射線的觀測,可以間接發現黑洞並對之進行研究。

霍金(Stephen William Hawking)因發現黑洞的霍金輻射(Hawking radiation),和他對於量子重力學與早期宇宙量子學的深度貢獻,獲頒基礎物理學特別突破獎。霍金以數學檢驗出黑洞的位置,其內容與數學的奇異點有關,關於黑洞有關的內容將在別篇再討論。

圖9來源:重力透鏡模擬的黑洞,可看出在星系背景扭曲的圖像。取自WIKI,CC 3.0,作者:Urbane Legend

【結論】

由此可見我們可以知道天文學,如果單用直覺來觀察,將會有很片面的解釋,如同說,A繞著B再轉,A看B再轉,所以A說B在轉動,這就是亞里斯多德的地心論,但這是錯誤的。

天文學必須用假設,並觀測收集資料,再用數學來推導驗證,才能得到一個接近的答案。而最重要的事是一個充滿創意的假設,如果科學家沒有創意去想像一個沒有想過的事情,以及擁有足夠的數學能力驗證,那麼他無法推導出真實世界的樣貌,同時我們的科學也就無法進步。所以「做夢最美、數學相陪」,天文學就是一部數學,利用夠多的數學才能讓我們了解並征服太空。為什麼科學家用數學描述世界,因為數學是唯一的精確語言。

若我們希望天文科學要再進一步,顯而易見的需要利用到更多的數學。其他的科學也是同樣道理,因為數學就是西方文化科學精神的基礎。

「在自然科學中,數學具有不可理喻的有效性。」(「The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences」。……物理學家Eugene Wigner

有興趣可參考

數學在自然科學中 不合理的有效性

The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences