希臘時期的天文學:令現代人驚訝的成就

畢達哥拉斯(Pythagoras)與學生頌讚日出 (1869) Fyodor Bronnikov (來源 維基百科)

「琴弦的振動顯示了幾何學,而天體的運行展現出音樂」……畢達哥拉斯 (西元前570–西元前495 )

近代的天文學需要深厚的數學及物理基礎。然而,在二千多年前的希臘,天文的研究僅使用簡單的幾何和三角學。主要原因是當時的天文僅限於描述、記錄天體運行的軌跡,況且,當時物理知識太少,因此也沒有施展的空間。本文的重點:即使只使用簡單的數學(相當於現代的國中數學),希臘的天文學家竟然可以推算出和今天極接近的「地球半徑」及「地球到月球的距離」!

【希臘人認知地球是完美的球體】

早在西元前500年,畢達哥拉斯就認為地球是完美的球體,到底他的論點是基於觀察結果或是他的神秘美學觀點就不得而知,或許兩者皆是。然而,畢氏認為真理一定呈現出完美,簡潔的特性,因此,地球和人類觀測得到的天體都應該是完美的球體!不要小看畢氏這種「從混沌中尋找真理Order out of Chaos」的哲學態度。事實上此信念一直主導西方的科學發展迄今,從啓蒙時期的牛頓到20世紀的愛因斯坦都是如此。有趣的是,一向強調實用的中國文明,一直到17世紀還認為地球是平的。

【埃拉托斯特尼推論地球周長】

早在西元前500年,希臘人就已經認知地球是球體,如天上的星星一般都應該是球體。當然他們不能像近代太空人阿姆斯壯離開地球回看到地球真是球體,只是假設並且相信地球是球體,而以後的天文學家、物理學家也以此為基礎來進行運算,屢屢吻合且正確。所以在西方文明一直相信地球是個球體,否則如果地球是平的,哥倫布豈不是航海到盡頭就掉出去了?或者是永遠回不到出發點? 

正因為希臘人認知地球是球體,因此會對地球的周長與半徑有興趣,希臘天文學家埃拉托斯特尼Eratosthenes在不離開埃及的情況下計算了地球的周長。他假設太陽光是平行光,並在不同緯度之下的同一時間,有的地方太陽是在正上方,有的地方是略有角度。利用垂直桿和影子的直角三角形的比例圖,得到角度大約是7°(或是圓圈的1/50),並將地球視為球形,他認為地球的周長是兩地的距離的五十倍,見圖1、2。角度7°對應AB弧長,就能推導出角度360°對應的地球圓周長。有了周長後就可以推出半徑。這個方法推出的地球周長相當於四萬公里,和我們現在所測得的數字40,075.017公里相差一百公里以內。此方法僅僅利用到國中數學。

圖1

圖2

【喜帕恰斯Hipparchus 推算地球半徑】

在希臘時期已經有狹義三角函數的概念,狹義的意思是僅侷限於直角三角形,並將這些關係列成表格,利用表格來查不同角度的比例。在此我們說明希臘天文學家喜帕恰斯的方法,利用基本相似三角形定理,來推算地球半徑。

基本幾何學的「相似三角形定理」,如圖3所示:

圖3

相似三角形:與大小無關,每一對應邊的比例都是相等、每一個對應角度相等。保持直角∠C在右下、左上的斜邊c長度固定,而左下角度∠B越大,會使得高度b越大,也就是角度∠B越大,邊長b就越大,見圖4。

圖4

因此可以做出一個比例表,就是後來的正弦三角函數 (sin函數),但在那時只有到90度(狹義三角函數)。

∠B

15°

30°

45°

60°

75°

87.67°

b/c

0.2588

0.5

0.7071

0.8660

0.9659

0.99924

三角函數表在古代天文測量,發揮極大的價值。以喜帕恰斯的重要發現為例,可以算出地球半徑,及算出地球到月亮的距離。

喜帕恰斯計算地球半徑的過程概述如下:我們爬上一座3英里高的山,向地平線望去,測量視線和地面垂直線之間的夾角,見圖5中的∠CAB,測得這角近似於87.67°

圖5:計算地球半徑R示意圖  

由圖5可知要利用三角函數的正弦函數就能計算出R(地球半徑),正弦函數是「對邊/斜邊」,利用查表sin(87.67°)=0.99924,及sin(87.67°)=,可得到

喜帕恰斯計算出地球半徑3944.37英里。與現代科技,測量到的地球半徑 3961.3英里(6371公里),只差17英里,誤差不到0.4%!2200年前的喜帕恰斯運用三角及基本幾何學,就得到如此驚人的結果,簡直是「酷」!此方法僅利用到高中數學。

【歷年來觀察地球半徑的紀錄】

 

赤道半徑

極地半徑

 

Equatorial radius (km)

Polar radius (km)

Maupertuis (1738)

 6,397.300

 6,363.806

Everest (1830)

 6,377.276

 6,356.075

Airy (1830)

 6,377.563

 6,356.257

Bessel (1841)

 6,377.397

 6,356.079

Clarke (1866)

 6,378.206

 6,356.584

Clarke (1878)

 6,378.190

 6,356.456

Clarke (1880)

 6,378.249

 6,356.515

Helmert (1906)

 6,378.200

 6,356.818

Hayford (1910)

 6,378.388

 6,356.912

International (1924)

 6,378.388

 6,356.912

NAD 27 (1927)

 6,378.206

 6,356.584

Krassovsky (1940)

 6,378.245

 6,356.863

WGS66 (1966)

 6,378.145

 6,356.760

Australian National (1966)

 6,378.160

 6,356.775

New International (1967)

 6,378.158

 6,356.772

GRS-67 (1967)

 6,378.160

 6,356.775

South American (1969)

 6,378.160

 6,356.775

WGS-72 (1972)

 6,378.135

 6,356.751

GRS-80 (1979)

 6,378.137

 6,356.752

NAD 83

 6,378.137

 6,356.752

WGS-84 (1984)

 6,378.137

 6,356.752

IERS (1989)

 6,378.136

 6,356.751

IERS (2003)

 6,378.137

 6,356.752

可以發現赤道半徑與極地半徑(地心到南極或北極的球半徑)自18世紀就修正不到1公里,代表原本的方法就相當精準,並且可知赤道半徑與極地半徑不同,可以認知到地球是一個比較扁的球體。
【喜帕恰斯Hipparchus 推算地球到月球的距離】

要如何計算地球到月球的距離?由上一個問題得到地球半徑是3944.37英里,而∠A是C點的緯度,從經緯系統得知∠A約等於89.05°。並假設:

1. 從地球中心到月球中心為圖中的A點到B點

2. 由月球中心B作一條至地球表面的切線

3. 切點為C,如圖所示。

圖6:計算地球到月球距離示意圖

由圖6可知要利用三角函數的餘弦函數就能計算出A點到B點的長度,餘弦函數是「鄰邊/斜邊」,利用查表cos(89.05 °)=0.01658,及cos(89.05°)=,可得到

喜帕恰斯計算出地球到月球距離238000英里。與現代高科技測量到的平均距離240000英里(384000公里)。相比較之下,誤差不到0.8%!所以說三角函數的確可靠。相似形是三角函數的基礎,三角函數是測量的基礎,三角函數能完成很多事情。

【本篇希臘天文學家介紹】

● 埃拉托斯特尼

埃拉托斯特尼是西元前276年至西元前194年的希臘數學家、地理學家、歷史學家、詩人、天文學家,見圖7。埃拉托斯特尼的貢獻主要是設計出經緯度系統,第一個計算出地球的直徑與周長。

圖7

同時他也是阿基米德的好友。他的貢獻有

1. 約西元前255年,發明渾天儀,測量天體的儀器,一直用到17世紀。

2. 約西元前240年,他計算出地球的直徑。

3. 約西元前200年,他創造「地理學」(geography)一詞來表示研究地球的學問。

4. 提出質數篩選方法:埃拉托斯特尼篩法。

● 喜帕恰斯

喜帕恰斯是約西元前190年至西元前120年的古希臘天文學家,見圖8,傳說中視力非常好,是第一個發現巨蟹座的M44蜂巢星團,除此之外還有以下的貢獻:

1. 星星的亮度-「視星等Apparent Magnitude」,由他第一個制定,將星星分成6個等級。而到現在發現更多的星星,喜帕恰斯所做  的星等已經無法涵蓋全部,所以增加「負星等」,來涵蓋當時沒看到的星星。

2. 發現「 歲差 」現象,地球自轉角度偏移現象,後來因牛頓才得以證實。

3. 發現一年有365.25天多,與現在測量只差14分鐘。月亮的週期29.53059天,與現在差不多。

4. 喜帕恰斯也被認為是三角學的創始者

圖8

為了紀念喜帕恰斯,歐洲太空總署發射的一顆天體測量衛星就命名喜帕谷衛星(High Precision Parallax Collecting Satellite,縮寫為Hipparcos),全稱為「喜帕谷視差測量衛星」。喜帕谷衛星於1989年8月8日由亞利安4號火箭運載升空,1993年除役。

【結論】

1985至1992年間,有一個相當受歡迎的電視影集「馬蓋先(MacGyver) 」。

其中主角馬蓋先是一位聰慧、樂觀且極有創造力的探員。他盡可能使用非暴力手段對付暴力,堅持不使用鎗。具有科學精神的馬蓋先,經常利用身邊隨手可得的簡單物品(如膠帶、瑞士刀) 快速組合成精巧的小工具,當場解決面臨的複雜問題。

馬蓋先的故事對我的啟示很大,它使我領悟到:所謂創造力就是拋棄已有的思考模式,從新的角度來解決問題。同樣地,即使只使用簡單的數學(相當於現代的國高中數學),希臘的天文學家竟然可以推算出和今天極接近的「地球半徑」及「地球到月球的距離」!

現今的台灣的教育方法仍停留在博學強記,似乎不瞭解網際網路時代的競爭力,來自創新思維而非博學多聞!(再博學也比不過Google search)。這些希臘天文學家給我們的啟示就是:如何化繁為簡,如何充分發揮想像力!為何國中數學不採用上述的實例教學,以啟發學生的想像力,反而編出一些無聊的計算題,來破壞學生的興趣!